Aufgaben für die Oberstufe
Aufgabe 1. [3 P.]
Das Dreieck ABC ist einem Kreis einbeschrieben. Von der Ecke A aus
werden zwei Sehnen gezogen, die die Seite BC in den Punkten K und L und
den Kreisbogen BC in den Punkten M und N schneiden. Beweisen Sie, dass
das Dreieck ABC gleichschenklig ist, wenn das Viereck KLMN einen Umkreis
besitzt.
Aufgabe 2: [3 P.]
Die positiven ganzen Zahlen a, b, c, d erfüllen die Ungleichung
a d - b c > 1. Zeigen Sie, dass dann mindestens eine der Zahlen a, b, c,
d nicht durch a d - b c teilbar ist.
Aufgabe 3: [4 P.]
Von den vier Seitenwinkeln einer Seitenfläche eines (schiefen)
fünfeckigen Prismas taucht einer bei jeder Seitenfläche auf.
Sein Wert sei f. Welche Werte sind für f möglich?
Aufgabe 4:
Es ist bekannt, dass sich unter
a) [3 P.] 32
b) [2 P.] 22
gleich aussehenden Münzen zwei Falschmünzen befinden. Alle
echten Münzen haben das gleiche Gewicht, die beiden falschen Münzen
wiegen auch gleich viel, weichen aber von dem Gewicht der echten Münzen
ab. Wie kann man die Münzen in zwei gleichschwere Haufen aufteilen,
wenn man mit einer Balkenwaage höchstens vier Wägungen durchführen
darf?
An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Bleistift, Lineal und
Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name,
Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Die Punktzahl pro Aufgabe
ist in eckigen Klammern angegeben.
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.