22. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb, Herbst 2001

Aufgaben für die Oberstufe

(Zu den Aufgaben der Mittelstufe )

Aufgabe 1. [3 P.]
Das Dreieck ABC ist einem Kreis einbeschrieben. Von der Ecke A aus werden zwei Sehnen gezogen, die die Seite BC in den Punkten K und L und den Kreisbogen BC in den Punkten M und N schneiden. Beweisen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, wenn das Viereck KLMN einen Umkreis besitzt.
 

Aufgabe 2: [3 P.]
Die positiven ganzen Zahlen a, b, c, d erfüllen die Ungleichung a d - b c > 1. Zeigen Sie, dass dann mindestens eine der Zahlen a, b, c, d nicht durch a d - b c teilbar ist.
 

Aufgabe 3: [4 P.]
Von den vier Seitenwinkeln einer Seitenfläche eines (schiefen) fünfeckigen Prismas taucht einer bei jeder Seitenfläche auf. Sein Wert sei f. Welche Werte sind für f möglich?
 

Aufgabe 4:
Es ist bekannt, dass sich unter
a) [3 P.] 32
b) [2 P.] 22
gleich aussehenden Münzen zwei Falschmünzen befinden. Alle echten Münzen haben das gleiche Gewicht, die beiden falschen Münzen wiegen auch gleich viel, weichen aber von dem Gewicht der echten Münzen ab. Wie kann man die Münzen in zwei gleichschwere Haufen aufteilen, wenn man mit einer Balkenwaage höchstens vier Wägungen durchführen darf?
 

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Bleistift, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name,
Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Die Punktzahl pro Aufgabe ist in eckigen Klammern angegeben.
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.