21. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb, Frühjahr 2000

Aufgaben für die Oberstufe

(Mittelstufe)

Aufgabe 1: [3 P.]

Die natürlichen Zahlen n, m seien teilerfremd, d.h. sie besitzen keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Der Bruch

kann möglicherweise gekürzt werden, indem man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler d teilt. Welches ist der größtmögliche Wert für d?

Aufgabe 2: [5 P.]

In einem Kreis mit Mittelpunkt 0 schneiden sich die Sehnen mit den Endpunkten A, C und B, D in einem Punkt K. M sei der Umkreismittelpunkt des Dreiecks AKB, N sei der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CKD. Beweisen Sie ïOMï = ïKNï.

Aufgabe 3: [5 P.]

Bei einem Kartenstapel liegen einige der Karten mit dem Bild nach oben, andere mit dem Bild nach unten. Von Zeit zu Zeit greift Peter sich irgendeinen Stapel heraus, dessen oberste und unterste Karte mit dem Bild nach oben zeigt. Diesen Stapel dreht er herum und legt ihn in die gleiche Lücke zurück. (Hierbei kann der herausgenommene Stapel auch aus nur einer Karte bestehen.) Beweisen Sie, dass bei diesem Vorgehen irgendwann alle Karten mit dem Bild nach unten liegen müssen.

Aufgabe 4: [5 P.]

Auf einem Blatt Karopapier sei ein konvexes Polygon p gezeichnet, dessen Eckpunkte alles Karoeckpunkte sind und das keine senkrechten oder waagerechten Randstücke hat. Zeigen Sie, dass stets die Längen der waagerechten und der senkrechten Karoseiten, die innerhalb von p liegen, übereinstimmen.

Aufgabe 5: [7 P.]

Finden Sie die größte Zahl N mit folgender Eigenschaft: es gibt eine natürliche Zahl n mit: 1 teilt die Quersumme von n + 1, 2 teilt die Quersumme von n + 2, 3 teilt die Quersumme von n + 3, u.s.w. bis N teilt die Quersumme von n + N.

Aufgabe 6:

In einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau einmal. Bei einem Sieg erhält der Gewinner einen Punkt, bei einem Patt bekommt jeder einen halben Punkt gutgeschrieben. Der Verlierer bekommt keinen Punkt. Eine Partie heißt toll, falls ein Spieler mit einem niedrigeren Abschlusspunktestand gegen einen Spieler mit einem höheren Punktestand gewonnen hat.

(a) [6 P.] Zeigen Sie, dass der Anteil der tollen an allen Partien stets unter 3/4 liegt.

(b) [6 F,] Zeigen Sie, dass die Zahl 3/4 aus (a) nicht verkleinert werden kann.

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.