22. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb, Herbst 2001

Aufgaben für die Mittelstufe

(Zu den Aufgaben der Oberstufe )


Aufgabe 1. [3 P.]
In jedes der 16 Felder eines 4 x 4-Quadrats wird eine Zahl geschrieben. Wenn man die Zahlen aller Nachbarfelder eines beliebigen Feldes addiert, so ergibt sich immer 1. (Dabei heißen zwei Felder benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben.) Wie groß ist die Summe aller 16 eingetragenen Zahlen?
 
 
 
 

Aufgabe 2: [,i P.)

ABCD sei ein Parallelogramm, M der Mittelpunkt der Seite CD und 11 der Fußpunkt des Lotes von 13 Auf die Gerade durch AM. Zeige, daß das Dreieck BCH gleichschenklig ist.
 
 
 
 

Aufgabe, 3:

a.) [2 P.J

A tl l' hhie Tafel werden einhundert verschiedene Zahlen geschrieben. Zeige, daß plan aus ihnen stets acht Zahlen so auswählen kann, daß ihr arithmetisches Mittel nicht das arithmetische Mittel Volt (11:`1111 (]ei. atlgeschrif,~benpt1 Zahlensein kann. (Unter (lein aritI11iiei.i.9CIlen Mittel vor( t"t Zahlen 0' 1, . . . , n,l versteht man den Wert ~^'-~°.)

n
 

1.>) [2 1,1.]

Auf eine Illfal werden einhundert ganze Zahlen geschrieben. Es ist bekannt, daß man zu je acht Zahlen stets nenn Zahlen so finden kann, daß das arithmetische Mittel der acht Zahlen gleich dem arithmetischen Mittel der neun Zahlen ist. Zeige, daß dann alle einhundert Zahlen gleich groß geiti müssen.
 
 
 
 

Aufgabe 4: (5 P. J

Es ist bekannt, daß sich unter 32 gleich aussehenden Münzen zwei Falschmünzen befinden. Alle echten MÜnzen haben das gleielle Gewicht, die beiden falschen Münzen wiegen auch deich viel, weichen al)er voti cletil Gewicht der echten Münzen ab. Wie kann man die Münzen in zwei glelchsellwere Haufell aufteilen, wenn inaJ1 mit, eitler Balkenwaage höchstens vier Wägungen durchführen darf?
 
 
 
 

An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Bleistift, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Die Punktzahl pro Aufgabe ist in eckigen Klammern angegeben. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.