Aufgaben für die Oberstufe
( ---> Mittelstufe )
Aufgabe 1: [4 P.]
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird mit den
Eckpunkten verbunden. Dadurch wird das Dreieck in drei kleinere Dreiecke
zerlegt. Es stellt sich nun heraus, dass eines dieser kleineren Dreiecke
zu dem gegebenen Dreieck ähnlich ist.
Finden Sie die Winkel dieses Dreiecks.
Aufgabe 2: [4 P.]
Zeigen Sie, dass es unendlich viele ungerade Zahlen n gibt, so dass
die Zahl
Aufgabe 3: [4 P.]
n Geraden sind so in einer Ebene gezeichnet, dass jede Gerade genau
1999 andere Geraden schneidet. Finden Sie alle möglichen Werte von
n.
Aufgabe 4: [4 P.]
Ist es möglich, auf der Zahlengerade 50 Intervalle (auch überlappend)
so zu wählen, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) Die Intervallängen sind 1, 2, 3, ..., 50.
b) Die Endpunkte der Intervalle sind genau die Zahlen von 1 bis 100.
Aufgabe 5: [4 P.]
Auf einem Tisch liegen gleichartige Spielkarten im Formal 1 x 2. Auf
jeder Karte ist eine Diagonale eingezeichnet. Es gibt zwei Sorten von Karten,
da man die Diagonalen ja auf zwei verschiedene Weisen zeichnen kann. Von
jeder Sorte gibt es beliebig viele Karten. Aus 32 Karten kann man ein 8
x 8 - Quadrat legen.
Ist es möglich, 32 Karten so auszuwählen, dass die Endpunkte
der Diagonalen niemals übereinstimmen?
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.
Erstellt am 25.11.99
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