Aufgabe 1: (4 P.)
Beweisen Sie die Ungleichung

wobei a, b, c positive Zahlen sind.

Aufgabe 2: (4 P.)
Ein Quadrat der Seitenlänge l sei in lauter Rechtecke zerlegt. Für jedes Rechteck wählen wir die kleinere Seite aus (wenn das Rechteck ein Quadrat ist, wählen wir irgendeine Seite aus). Zeigen Sie, daß die Summen der Längen aller gewählten Seiten mindestens 1 ist.

Aufgabe 3:
a) (2 P.) Die Zahlen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 und 128 stehen an einer Tafel. Man darf zwei beliebige Zahlen auswischen und durch ihre (nichtnegative) Differenz ersetzen. Nach sieben Wiederholungen dieser Prozedur bleibt eine Zahl übrig. Kann dies die Zahl 97 sein?

b) (3 P.) Die Zahlen 1, 2, 2², 2³, ..., 2¹⁰ stehen an einer Tafel. Man darf zwei beliebige Zahlen auswischen und durch ihre (nichtnegative) Differenz ersetzen. Nach einigen Wiederholungen dieser Prozedur bleibt eine Zahl übrig. Welche Zahlen können übrig bleiben?

Aufgabe 4: (5 P.)
Innerhalb des konvexen Vierecks ABCD gebe es einen Punkt M, so daß die Dreiecke AMB und CMD gleichschenklig sind: (|AM| = |MB|, |CM| = |MD| und Winkel AMB = Winkel CMD = 120^o. Zeigen Sie, daß es einen Punkt N derart gibt, daß die Dreiecke BNC und DNA gleichseitig sind.

Aufgabe 5: (6 P.)
Unter einem "Labyrinth" verstehen wir ein 8x8-Schachbrett, auf dem zwischen einigen benachbarten Feldern Barrieren aufgebaut sind. Falls ein Turm das gesamte Schachbrett überqueren kann, ohne über eine Barriere springen zu müssen, so nennen wir das Labyrinth gut, anderenfalls schlecht.Gibt es mehr gute oder mehr schlechte Labyrinthe?

Aufgabe 6:
a) (6 P.) Zwei Leute führen folgenden Kartentrick vor: Der eine zieht 5 Karten aus einem vorher von einem Zuschauer gemischten Stapel aus 52 Karten. Er sieht sie sich an und legt sie in eine Reihe von links nach rechts auf einen Tisch. Dabei legt er eine der Karten mit dem Bild nach unten (nicht unbedingt die erste), die anderen mit dem Bild nach oben. Sein Partner kommt hinzu und errät das Bild der verdeckten Karte. Welche Absprachen könnten die Partner getroffen haben?

b) (6 P.) Bei dem zweiten Trick legt der eine wieder die vier Karten offen in eine Reihe, verdeckt aber die fünfte Karte. Gibt es immer noch ein System von Absprachen, das den hinzukommenden Partner die verdeckte Karte stets richtig raten läßt?

Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.

• Klaus Sielaff
• Prof. Dr. Helmut Müller
• Dr. Wolfgang Löding
• Amt für Schule

Erstellt am 15.04.98
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