Aufgabe 1: (3 P.)
Gibt es 10 natürliche Zahlen, keine ist teilbar durch irgendeine der anderen Zahlen, aber ihr Quadrat wird von allen anderen Zahlen geteilt?

Aufgabe 2: (3 P.)
Es sei ABCD ein Parallelogramm. Der Punkt M liege auf der Seite AB oder ihrer Verlängerung, so daß die Winkel MAD und AMO gleich sind. Dabei ist O der Diagonalenschnittpunkt.
Zeige: |MD| = |MC|.

Aufgabe 3: (4 P.)
Sechs Würfel sind auf einem starren Draht aufgereiht, wobei der Draht durch den Mittelpunkt zweier gegenüberliegenden Flächen geht. Jeder Würfel kann unabhängig von den anderen um den Draht gedreht werden.
Beweise, daß man die Würfel stets so drehen kann, daß sie - auf einen Tisch gelegt - mit der nach oben weisenden Augenzahl eine 6-ziffrige, durch 7 teilbare Zahl anzeigen. (Die sechs Würfelflächen sind dabei von 1 bis 6 so numeriert, daß die Summe der Augenzahlen zweier gegenüberliegenden Flächen stets 7 ergibt.)

Aufgabe 4: (4 P.)
Ein Reisender besucht ein Dorf, dessen Einwohner entweder stets lügen oder immer die Wahrheit sagen. Die Dorfbewohner haben sich in einem Kreis aufgestellt, mit dem Gesicht nach innen, und geben an, ob ihr Nachbar zur Rechten ein Wahrheitssager ist. Aufgrund dieser Information konnte der Reisende den Bruchteil der Lügner unter ihnen bestimmen. Wie groß ist er?

Aufgabe 5: (7 P.)
Ein Quadrat ist in 25 kleinere Quadrate zerlegt. In einige dieser kleinen Quadrate zeichnen wir eine der Diagonalen ein, wobei sich aber keine der Diagonalen in den Eckpunkten treffen dürfen. Welches ist die größtmögliche Anzahl von Diagonalen, die wir so zeichnen können?

Aufgabe 6: (8 P.)
10 Personen sitzen um einen runden Tisch, jeder hat vor sich einige Nüsse liegen, insgesamt sind es 100 Stück. Auf ein Signal hin schiebt jeder einige seiner Nüsse seinem rechten Nachbar zu: Bei einer geraden Anzahl von Nüssen ist es die Hälfte, anderenfalls eine plus die Hälfte der restlichen Nüsse. Diese Prozedur wieder immer wieder wiederholt. Zeige, daß dabei stets eine Verteilung auftreten muß, bei der vor jeder Person 10 Nüsse liegen.

Gewertet werden höchstens drei Aufgaben. Arbeitszeit: 4,5 Stunden.

Auskunft:

• Klaus Sielaff
• Prof. Dr. Helmut Müller
• Dr. Wolfgang Löding
• Amt für Schule

Erstellt am 15.04.98

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