Uni 
HH Logo

Vorlesung & Übung Vertiefung Mengenlehre
SS 2017
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer (Modul M-VLM-V) 65-427
Veranstalter: Prof. Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Die moderne Mengenlehre ist sowohl ein mathematisches Forschungsgebiet, in dem es um allgemeine Struktureigenschaften unendlicher Mengen geht, als auch eine der wichtigsten Grundlagentheorien für die gesamte Mathematik. In dieser Vorlesung wollen wir uns mit beiden Aspekten der Mengenlehre befassen.

Sowohl Studierende, die die zweistündige Veranstaltung zur Logik und Mengenlehre im Wintersemester 2016/17 gehört haben, als auch Studierende ohne Mengenlehrevorkenntnisse sind herzlich an der Teilnahme an dieser Veranstaltung eingeladen. In den ersten zwei bis drei Wochen werden die Grundlagen der Mengenlehre wiederholt und dann vertieft.

Bachelorstudierende werden ausdrücklich zur Teilnahme an der Veranstaltung aufgefordert und die Vorlesung kann als Grundlage für Themen von Bachelorarbeiten dienen.

Klausur: Die Klausur wird voraussichtlich am 11. Juli 2017 stattfinden. Um zur Klausur zugelassen zu werden, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. schriftliche Bearbeitung von mindestens zehn der zwölf Übungsblätter;
  2. regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnehme in der Übungsgruppe (aktive Teilnahme beinhaltet Vorrechnen an der Tafel).
Ort & Zeit: Vorlesung: Montags 16-18 H4, Dienstags 14-16 H1. Übung: Dienstags 16-18 Geom 1240.
Ablauf:
Montag, 3. April 2017 Erste Vorlesung. Motivation: Kardinalzahlen und Ordinalzahlen. Eigenschaften von Mengenuniversen: Extensionalität, leere Menge, Einermengen, Paarmengen, Vereinigungen, Aussonderung, Dedekind-Unendlichkeit.
Dienstag, 4. April 2017 Zweite Vorlesung. Eigenschaften von Mengenuniversen: Potenzmengen, geordnete Paare, kartesische Produkte, Relationen, Funktionen. Zahlentheoretische Strukturen, Peano-Strukturen, induktive Mengen. Die mengentheoretische Definition der natürlichen Zahlen und einige Eigenschaften. Addition auf den natürlichen Zahlen: kardinale und ordinale Definition.

Übungsblatt #1 (Abgabe: 11. April 2017).
Montag, 10. April 2017 Dritte Vorlesung. Ordnung auf den natürlichen Zahlen. Transitive Mengen. Trichotomiesatz. Prinzip der Ordnungsinduktion und Prinzip des kleinsten Elements. Relation "ist höchstens so groß wie" und ihre fehlende Antisymmetrie.
Dienstag, 11. April 2017 Vierte Vorlesung. Endlichkeit, Abzährbarkeit, Überabzählbarkeit. Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Satz von Cantor. Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen und der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Satz von Cantor-Schröder-Bernstein.

Übungsblatt #2 (Abgabe: 18. April 2017).
Montag, 17. April 2017 Ostermontag
Dienstag, 18. April 2017 Fünfte Vorlesung. Kardinalitätsoperationen auf Mengen: Addition, Multiplikation und Exponentiation. Eigenschaften dieser Operationen. Kardinale Definitionen von Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen. Wohlordnungen: Beispiel zweier nichtisomorpher abzählbarer Wohlordnungen.

Übungsblatt #3 (Abgabe: 25. April 2017).
Montag, 24. April 2017 Sechste Vorlesung. Isomorphismen von Wohlordnungen. Abzählbare Wohlordnungen als Umordnungen der natürlichen Zahlen. Anfangssegmente von Wohlordnungen. Die Ordnung "ist kürzer als" auf Wohlordnungen. Eindeutigkeit von Isomorphismen auf Wohlordnungen. Der Rekursionssatz auf Wohlordnungen.
Dienstag, 25. April 2017 Siebte Vorlesung. Die Nachfolgeroperation auf Wohlordnungen. Die Relation "ist höchstens so lang wie" auf Wohlordnungen und ordnungserhaltende Injektionen. Kodieren von abzählbaren Wohlordnungen als Teilmengen von N×N. Satz von Hartogs und die Existenz überabzählbarer Wohlordnungen.
Übungsblatt #4 (Abgabe: 2. Mai 2017).
Montag, 1. Mai 2017 Maifeiertag
Dienstag, 2. Mai 2017 Achte Vorlesung. Die Ersetzungsbedingung oder das Ersetzungsaxiom. Verallgemeinerter Rekursionssatz (ohne Beweis). Mostowskischer Kollabierungssatz. Ordinalzahlen und ihre Eigenschaften. Nichtexistenz der Menge aller Ordinalzahlen. Nichtexistenz der Menge aller Mengen.
Übungsblatt #5 (Abgabe: 9. Mai 2017).
Montag, 8. Mai 2017 Neunte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Dr. Wohofsky.) Auswahlaxiom und einfache Äquivalenzen. Wohlordnungssatz. Zornsches Lemma. Äquivalenz zwischen Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und Zornschem Lemma.
Dienstag, 9. Mai 2017 Zehnte Vorlesung. Folgerungen aus dem Wohlordnungssatz: Vergleichbarkeitssatz und Existenz von Injektionen aus Surjektionen. Kardinalzahlarithmetik: Addition, Multiplikation, Exponentiation und grundlegende Eigenschaften. Satz von Hessenberg (ohne Beweis). Transfinite Rekursion auf den Ordinalzahlen. Beispiel: die Alephs.
Übungsblatt #6 (Abgabe: 16. Mai 2017).
Montag, 15. Mai 2017 Elfte Vorlesung. Transfinite Induktion aus den Ordinalzahlen. Normale Ordinalzahloperationen und die Existenz beliebig großer Fixpunkte. Aleph-Fixpunkte. Die Beth-Operation. Beth-Fixpunkte. Kontinuumshypothese und verallgemeinerte Kontinuumshypothese. Rekursive Definition der Ordinalzahladdition und grundlegende Eigenschaften. Subtraktion.
Dienstag, 16. Mai 2017 Zwölfte Vorlesung. Rekursive Definition der Ordinalzahlmultiplikation und grundlegende Eigenschaften. Division mit Rest. Rekursive Definition der Ordinalzahlexponentiation und grundlegende Eigenschaften. Theorem über die Cantor-Normalform (Existenz).
Übungsblatt #7 (Abgabe: 23. Mai 2017).
Montag, 22. Mai 2017 Dreizehnte Vorlesung. Theorem über die Cantor-Normalform (Eindeutigkeit). Leitexponent der Cantor-Normalform. Drei Bedeutungen der Exponentenschreibweise: für Mengen, Ordinalzahlen und Kardinalzahlen. Ordinale Notation für Kardinalzahlen: ℵα = ωα. Berechnungen mit Ordinalzahlen. Absorptionstheorem der Kardinalzahladdition. Gerade und ungerade Ordinalzahlen.
Dienstag, 23. Mai 2017 Vierzehnte Vorlesung. Satz von Hessenberg (Beweis). Absorptionstheorem der Kardinalzahlmultiplikation. Einige Berechnungen in der Kardinalzahlarithmetik. ℵ1 ist keine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Ordinalzahlen. ℵω ist abzählbare Vereinigung kleinerer Ordinalzahlen. Konfinale Funktionen. Konfinalität. Reguläre und singuläre Kardinalzahlen.
Übungsblatt #8 (Abgabe: 30. Mai 2017).
Montag, 29. Mai 2017 Fünfzehnte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Dr. Wohofsky) Konfinale Mengen. Aufsteigende konfinale Funktionen. Konfinalität ist reguläre Kardinalzahl. Nachfolgerkardinalzahlen sind regulär. Gimel-Funktion. ℷ(κ) > κ und einfache Folgerungen.
Dienstag, 30. Mai 2017 Sechzehnte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Block) . Unendliches Produkt und unendliche Summe. Satz von König. Einfache Folgerungen aus dem Satz von König. Einschränkungen für die Kontinuumfunktion bei regulärem Exponenten.
Übungsblatt #9 (Abgabe: 13. Juni 2017).
Montag, 5. Juni 2017 Pfingstmontag
Dienstag, 6. Juni 2017 Pfingstpause
Montag, 12. Juni 2017 Siebzehnte Vorlesung. Hauptsatz über die Kontinuumsfunktion. Exkurs zum Club-Filter auf ℵ1. Wiederholung: metrische Räume und ihre Topologie. Gδ- und Fσ-Mengen. Dichte Mengen. Separable Räume. Vollständigkeit einer Metrik. Polnische Räume.
Dienstag, 13. Juni 2017 Achtzehnte Vorlesung. (Vertretung durch Herrn Block). Abgeschlossene Mengen als Gδ-Mengen. Beispiele von polnischen Rämen, insbesondere Cantor-Raum und Baire-Raum. Perfekte polnische Räume und perfekte Teilmengen. Einbettung des Cantor-Raums in perfekte polnische Räume. Perfect Set Property. Cantor-Bendixson-Ableitung und iterierte Cantor-Bendixson-Ableitung
Übungsblatt #10 (Abgabe: 20. Juni 2017).
Montag, 19. Juni 2017 Neunzehnte Vorlesung. Mächtigkeit der Mengen der offenen, abgeschlossenen und perfekten Mengen eines polnischen oder perfekten polnischen Raums. Bernstein-Mengen. Satz von Bernstein: es gibt eine Bernstein-Menge.
Dienstag, 20. Juni 2017 Zwanzigste Vorlesung. Satz von Cantor-Bendixson mit Beweis. σ-Algebren. Die Borel-σ-Algebra. Satz von Hausdorff über die perfekte Mengeneigenschaft (ohne Beweis). Die Borel-Hierarchie (Definition).
Übungsblatt #11 (Abgabe: 27. Juni 2017).
Montag, 26. Juni 2017 Einundzwanzigste Vorlesung. Grundlegende Eigenschaften der Borel-Hierarchie. Höhe der Borel-Hierarchie. Zusammenhang zwischen der Borel-Hierarchie eines Raums und eines Teilraums. ℵ1 als obere Schranke für die Höhe der Borel-Hierarchie. Mächtigkeit der Menge aller Borel-Mengen.
Dienstag, 27. Juni 2017 Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Übungsblatt #12 (Abgabe: 4. Juli 2017).
Montag, 3. Juli 2017 Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Dienstag, 4. Juli 2017 Vierundzwanzigste Vorlesung.
Montag, 10. Juli 2017 Q&A für die Klausur.
Dienstag, 11. Juli 2017 Klausur.

Last changed: 27 June 2017