Wir betrachten den Verkehrsfluß auf einer einspurigen Autobahn. Die Variable d bezeichne die Fahrzeugdichte und v die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs. d sei größer gleich 0 und durch dmax (die Dichte, an der die Fahrzeuge Stoßstange an Stoßstange fahren) beschränkt. Die Geschwindigkeit liege in einem Bereich zwischen 0 und einer maximalen Geschwindigkeit umax. Wir nehmen weiter an, daß die Geschwindigkeit eine Funktion der Autodichte ist, d.h. v=f(d).
In einem einfachen Modell löst die Fahrzeugdichte eine Erhaltungsgleichung vom Typ
Hierbei ist x eine reelle Zahl und t>0.
Um eine Relation zwischen der Autodichte d und der Geschwindigkeit v herzuleiten, machen wir folgende Annahmen: Bei einer Autodichte d=0, also einer leeren Straße, fahren die Autos mit der maximalen Geschwindigkeit v=umax. Fahren die Autos Stoßstange an Stoßstange (also d=dmax), so sei v=0. Zwischen diesen beiden Extremen werde die Geschwindigkeit linear interpoliert. Dies führt auf die folgende Definition für die Funktion v=f(d):
Mit dieser Funktion erhält man die Differentialgleichung
mit Anfangswert
wobei d0(x) = dLinks für x < 0 und d0(x) = dRechts für x > 0.
Zur mathematischen Beschreibung der Ampel betrachten wir zwei verschiedene Phasen: die Rotphase und die Grünphase. Wenn die Zeit im Intervall [0, Wrot) liegt, sei die Ampel rot, liegt die Zeit in [Wrot, Wrot+Wgrün), sei die Ampel grün usw.
Bei roter Ampel lösen wir die obige Differentialgleichung für x zwischen minus Unendlich und Null und für x zwischen Null und Unendlich. An x=0 brauchen wir also eine Randbedingung: Wir schreiben d=dmax vor. Bei grüner Ampel lösen wir die Differentialgleichung für alle reellen x.
Zur Diskretisierung dieses Problems haben wir die sogenannte Goudonov-Methode benutzt, deren Idee wir folgt lautet. Das Ortsintervall sei in Gitterpunkte xi=ih zerlegt, wobei i eine natürliche Zahl und h>0 seien. Analog wird das Zeitintervall zerlegt in Punkte tn=nk, wobei n eine natürliche Zahl und k>0 seien. Der Wert Uni sei eine Approximation von d(xi,tn). Wir schreiben Un für den Vektor, bestehend aus allen Ortsapproximationen Uni, d.h., Un approximiert die Lösung zur Zeit tn.
Ist nun Un bekannt, kann man Un+1 berechnen mittels der Beziehung:
wobei u* (mittels einer etwas aufwendigen Formel) als Mittelwert wie in [1] definiert ist.
Bei Betrachtung des Ort-Dichte-Diagramms erkennt man, daß es zwei verschiedene Phänomene gibt. Zum einen gibt es Regionen, in denen die Dichte unstetig ist (dort wechselt die Farbe abrupt). Diese Unstetigkeiten nennt man Schockwelle. Die Geschwindigkeit, mit der sich der Schock fortbewegt, heißt Schockgeschwindigkeit und kann mittels der Formel
berechnet werden , wobei UL und UR die Werte links und rechts vom Schock bezeichnen.
Das andere Phänomen ist die Verdünnungswelle, die etwa auftritt, wenn die Ampel von Rot auf Grün umschaltet.
Beachte, daß bei relativ großer Anfangsdichte der Fahrzeugstau vor
der Ampel sich immer weiter nach links fortpflanzt. Nur bei hinreichend
kleiner Anfangsdichte (mit von den Ampelphasen abhängigem Wert) kann
der Stau vollständig abgebaut werden.
[1] R. Levesque: Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhäuser, Basel 1990.