Ulrich Eckhard

Universität Hamburg

Das Spernersche Lemma
– habent sua fata lemmata –

Im Jahre 1928 erschien die Dissertation von Emanuel Sperner, im gleichen Jahre wurde John F. Nash geboren und der Gleichgewichtssatz für Zweipersonen-Nullsummenspiele durch John von Neumann bewiesen. John Nash konnte im Jahre 1950 die Theorie von v. Neumann in einem allgemeineren Kontext formulieren, allerdings musste er dazu den Kakutanischen Fixpunktsatz benutzen, für den es zu der Zeit nur nichtkonstruktive Beweise gab. Dieses Ergebnis wurde immerhin für so wichtig gehalten, dass Nash im Jahre 1994 – gemeinsam mit Reinhard Selten und John C. Harsanyi – dafür den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhielt.

Sperner hatte in seiner Dissertation mit dem Titel Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes für die von Luitzen Egbertus Jan Brouwer sowie von Henri Léon Lebegue gefundenen Resultate zur Dimensions- und Gebietsinvarianz einen sehr schönen konstruktiven Beweis geliefert, der im Jahre 1929 von Bronislaw Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz zum konstruktiven Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes benutzt wurde. Jedoch erst im Jahre 1967 zeigte Herbert E. Scarf, dass dieser auf dem Spernerschen Lemma beruhende Beweis zu einem sehr allgemeinen konstruktiven Verfahren zur Lösung von Fixpunktgleichungen ausgebaut werden kann. Damit hat insbesondere auch das Resultat von Nash eine neue Bedeutung bekommen. Die Arbeit von Scarf löste eine Fülle von Beiträgen zu diesem Thema aus. Besonders die in den siebziger Jahren entstehende Theorie der dynamischen Systeme hat von der Spernerschen Idee profitiert.