Tensoren, Differentialformen, Mannigfaltigkeiten und die Bewegung von
Fronten
Inhalt
Fronten, so weit das Auge reicht:
Ausbreitung von Verbrennungsfronten,
dendritisches Kristallwachstum, Wirbelschichten in Strömungen,
Kantenerkennung in der Bildverarbeitung, Bildung von Stoßwellen beim Flug
schneller Flugzeuge, Buchstabenerkennung auf Bankformularen, Trennlinien
zwischen Seifenblasen, und vieles mehr. Diese Vorlesung soll die
Grundlagen erarbeiten, die zu einer Diskussion von
Frontenverfolgungsproblemen unumgänglich sind. Wir werden zum Einstieg den
Fall "glatter" Phänomene behandeln, d.h. Mannigfaltigkeiten und die
auf ihnen agierenden Maschinen der Tensorrechnung und des
Differentialformenkalküls. Bei Phänomenen mit
Unstetigkeiten müssen maßtheoretisch verallgemeinerte
Flächen, die sogenannten "Varifaltigkeiten" (Varifolds), betrachtet
werden, die uns in die Geometrische Maßtheorie führen werden.
Im folgenden Semester wird eine weiterführende Veranstaltung angeboten.
Ziel
Erlernen des Tensor- und Differentialformenkalküls. Umgang mit
Hausdorff-Maßen und Varifaltigkeiten. Einführung in die
Problematik der
mathematischen Frontenverfolgung.
Vorkenntnisse
Grundvoraussetzung ist Vordiplom,
Spaß an der Mathematik und ihren Anwendungen und Neugierde auf
das Erkennen ungeahnter Zusammenhänge.
Literatur
- D. Lovelock, H. Rund:
Tensors, Differential Forms, and Variational
Principles.
Dover Publications, 1989.
- R.L. Bishop, S.I. Goldberg:
Tensor Analysis on Manifolds. Dover
Publications, 1980.
- H. Flanders: Differential Forms with Applications
to the Physical Sciences.
Academic Press, 1963.
- M. Spivak: A Comprehensive Introduction to
Differential Geometry, Vol I. Publish or Perish, Inc., 1979.
- H. Federer: Geometric Measure Theory. Springer Verlag,
- J.A. Sethian: Level Set Methods.
Cambridge University Press, 1996.