Seminar über Variationsrechung (im WiSe 2016/17)

Dozent: Thomas Schmidt

Seminartermin: Mo, 12-14, R432

Leistungspunkte: 6 ECTS (auf Vortrag und schriftliche Ausarbeitung)

Hörerschaft: Das Seminar richtet sich an Studierende in den Bachelor-Studiengängen (ab 5. Semester) und den Master-Studiengängen der Mathematik.

Vorkenntnisse: Kenntnisse aus den Grundvorlesungen Analysis I+II sowie Lineare Algebra I+II werden vorausgesetzt. Weitere Analysis-Kenntnisse (grobe Richtlinie: mindestens zwei der Vorlesungen Höhere Analysis, Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme, Funktionalanalysis, Topologie) sind wünschenswert.

Anmeldung: Interessenten werden gebeten, sich vor Ende September per Mail an thomas.schmidt@math.uni-hamburg.de anzumelden.

Vorbesprechung: 24.10.16, ab 12:15

Inhalte: Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit der Minimierung von (Energie-)Funktionalen auf unendlich-dimensionalen Funktionenräumen. Im Fall von Räumen von Funktionen einer Variablen ist dies eng verbunden mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei mehreren Variablen stösst man dagegen auf partielle Differentialgleichungen. Mögliche Vortragsthemen zur Variationsrechnung einer Variablen sind

• erste Variation und Euler-Gleichung,
• Existenzbeweise mit der direkten Methode,
• Variationsprobleme mit Nebenbedingungen,
• Regularität von Minimierern.

Insbesondere sollen hierbei auch klassische, teils schon im 18. und 19. Jahrhundert untersuchte Beispielprobleme (Weierstrass-Beispiel, Lichtbrechung, Minimalflächen, hängende Kette, Brachistochronen-Problem, isoperimetrische Probleme, ...) diskutiert werden. Die genaue Ausrichtung und der Schwerpunkt werden sich aber in jedem Fall auch nach den Vorkenntnissen der Teilnehmer richten; bei umfangreichen Vorkenntnissen können eventuell auch tieferliegende Themen aus der Variationsrechnung mehrerer Variablen bearbeitet werden.

Vortragsplan:

• 21.11.16: Sobolev- und BV-Funktionen einer Variablen (T. Schmidt)
• 28.11.16: Euler-Lagrange-Gleichungen (K. Horn)
• 05.12.16: DuBois-Reymond- und Hamilton-Gleichungen (J.-H. Geist)
• 12.12.16: Klassische Variationsprobleme (T. Nguyen)
• 19.12.16: Isoperimetrische Ungleichungen (S. Bacho)
• 09.01.17: Die direkte Methode der Variationsrechnung (M. Catrais)
• 16.01.17: Konvexe Hüllen und Relaxierung (F. Haller)
• 23.01.17: Unterhalbstetigkeit und Existenz in BV (C. Nicolai)
• 30.01.17: Variationsprobleme für Caccioppoli-Partitionen (S. Tornquist)

Literatur (zur Theorie in einer Variablen):

• G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems: an Introduction. Oxford University Press, 1998.
• B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations. Imperial College Press, 2004.
• H. Kielhöfer, Variationsrechnung. Vieweg+Teubner, 2010.