BV-Funktionen und Minimale Hyperflächen (Vertiefung Geometrische PDEs)
(Vorlesung im SoSe 2016)

Dozent: Thomas Schmidt

Vorlesungtermin: Do, 12-14, H6 (beginnt am 07.04.)

Übungstermin: Di, 13-14, R430 (erst ab 12.04.)

Leistungspunkte: 6 ECTS

Prüfungsform: Mündliche Prüfungen (etwa 30 Minuten) bei/nach Semesterende

Hörerschaft: Die Vorlesung ist als Vertiefungs- oder Spezialisierungsmodul im Master-Studium gedacht und kann insbesondere im Rahmen einer Vertiefung in Richtung Differentialgleichungen oder Differentialgeometrie sinnvoll belegt werden. Studierende andere Fachrichtungen und weitere interessierte Hörer mit entsprechenden Vorkenntnissen sind jedoch ebenfalls willkommen.

Vorkenntnisse: Kenntnisse aus den Mathematik-Grundvorlesungen (Lineare Algebra I+II, Analysis I+II, Höhere Analysis) werden vorausgesetzt. Weitere grundlegende Themen (Hausdorff-Maße, Radon-Maße, Sobolev-Räume, harmonische Funktionen, Krümmung von Hyperflächen) können, je nach Kenntnisstand der Hörer, kurz oder weniger kurz eingeführt und erläutert werden.

Vorlesungsinhalte: Der erste Teil der Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie von Funktionen beschränkter Variation. BV-Funktionen sind dabei Funktionen von einer oder mehreren reellen Variablen, deren (partielle) Ableitungen durch Maße repräsentiert werden können. Insbesondere erfasst dieses Konzept auch Funktionen mit Sprungstellen und beschreibt das Funktionsverhalten nahe solchen Stellen durch singuläre Maße. Ein einfaches Beispiel einer BV-Funktion in einer Variablen ist die Signumfunktion, deren Ableitung das Zweifache des Dirac-Maßes zu 0 ist. Grundlegende Beispiele von BV-Funktionen mehrer Variablen sind charakteristische Funktionen von glatten offenen Mengen in Rⁿ.

Im zweiten Teil der Vorlesung werden Themen aus der umfangreichen BV-Theorie minimaler Hyperflächen behandelt. Minimale Hyperflächen sind dabei (n-1)-dimensionale Flächen in Rⁿ, die eine gewisse Krümmungsbedingung erfüllen (nämlich, dass in jedem Punkt der Fläche der Mittelwert der (n-1) Hauptkrümmungen Null ergibt). Solche Flächen sind in der geometrischen Analysis in ganz verschiedenen Zusammenhängen von Interesse. Beispielsweise treten sie als Lösungen des Plateau-Problems auf; dies ist im klassischen Fall n=3 das Problem, zu einer geschlossenen Kurve in R³ eine Fläche zu finden, die genau die gegebene Kurve als Rand hat und den Flächinhalt unter allen solchen Flächen minimiert. Mit Hilfe der BV-Theorie lassen sich allgemeine Existenzsätze für das Plateau-Problem und minimale Hyperflächen beweisen, wobei auch nicht-glatte (verallgemeinerte) Flächen auftreten und behandelt werden können. Neben dieser Existenztheorie sollen in der Vorlesung - so es die Zeit erlaubt - auch die Regularitätstheorie für minimale Hyperflächen und das Studium ihrer Singularitäten angerissen werden.

Einführende Literatur zu BV-Funktionen:

• L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992;
• W.P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions, Springer, 1989.

Weiterführende Literatur zu BV-Funktionen:

• L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.

Literatur zur BV-Theorie minimaler Hyperflächen:

• E. Giusti, Functions of Bounded Variation and Minimal Surfaces, Birkhäuser, 1984;
• F. Maggi, Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems, Cambridge University Press, 2012.