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11.405 |
Vorlesung zur Algebraischen Topologie II
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Veranstalterin: |
Birgit Richter, email: richter at math.uni-hamburg.de
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Inhalt: |
In der Topologie-II Vorlesung behandeln wir
Homologiegruppen topologischer Räume. Solche Gruppen, H_n(X), mit
n = 0,1,2... sind abelsche Gruppen, die einem Raum in funktorieller
Weise zugeordnet werden können, d.h. für eine stetige
Abbildung f: X --> Y gibt es Gruppenmorphismen f_*: H_n(X) --> H_n(Y)
für jedes n=0,1,2.... Die Gruppen H_n(X) sind im Allgemeinen einfacher
auszurechnen als Homotopiegruppen, weil es viele strukturelle
Eigenschaften (Homotopieinvarianz, lange exakte Homologiesequenz,
Additivität, Ausschneidung) für Homologiegruppen
gibt. Zelluläre Homologie, die Mayer-Vietoris Sequenz und das
Künneth Theorem erlauben viele konkrete Berechnungen. Auf der
Kohomologie von Räumen gibt es ein Produkt, das sogenannte
Cup-Produkt. Diese multiplikative Struktur zusammen mit dem
Cap-Produkt zwischen Kohomologie und Homologie sind wichtige
Hilfsmittel für Berechnungen. Wir werden in der Vorlesung viele
geometrische Anwendungen besprechen. Beispielhaft
seien die Anwendungen des Abbildungsgrades in beliebiger Dimension und die
Poincare-Dualität erwähnt.
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Ziel: |
Durch die Bereitstellung struktureller Ergebnisse der
Homologietheorie und die detaillierte Behandlung konkreter Beispiele
werden Studierende befähigt, eigenständig homologische
Methoden auf geometrische Probleme anzuwenden. |
Für: |
Studierende der Mathematik, der Physik und des Lehramts |
Vorkenntnisse:
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Sie sollten Kenntnisse im Umfang einer
Topologie-I Vorlesung mitbringen (mengentheoretische
Topologie, Fundamentalgruppe). Wenn Sie bereit sind,
einiges aufzuholen, sollte es aber auch ohne solche
Vorkenntnisse möglich sein, der Vorlesung zu folgen.
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Ausblick:
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Bei ausreichendem Interesse ist eine Weiterführung der Vorlesung
im Sommersemester durch eine vertiefende Veranstaltung
geplant, auf der dann eine Diplomarbeit aufbauen kann.
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Literatur: |
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press
2002. Auch online erhältlich auf Allen
Hatchers
homepage
- R. Stöcker, H. Zieschang, Algebraische Topologie, Teubner 1994
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Zeit und Ort: |
Di 8:30-10h H3, Fr 8:30-10h H5,
Die Übung zur Topologie II findet Di 10-12h im Raum 430 statt.
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