Am 27.1.2015 beginnen wir erst um 8:30h!

Nach einer Wiederholung einiger Kernkonzepte der euklidischen Geometrie der Ebene wenden wir uns Modellen nichteuklidischer Geometrie zu.

Konzipieren Sie Ihre Vorträge bitte auf 70 Minuten und nutzen Sie die verbleibende Zeit für Beispiele (Sätze über Dreiecksgeometrie in Beispielen, Schiffs- und Flugrouten, Escherbilder, Schnittmuster für Jonglierbälle, Atlanten, etc), die Sie mit den anderen Seminarteilnehmern gemeinsam erarbeiten. Geben Sie mir bitte zwei Wochen vor Ihrem Vortrag eine Ausarbeitung ab und planen Sie Ihr Tafelbild (Anschrieb und Zeichnungen) sorgfältig.

Arbeiten Sie den Schulbezug Ihrer Vortragsthemen heraus und überlegen Sie, wie Sie Teile des erarbeiteten Stoffes in Unterrichtseinheiten umsetzen können.

1. Wie sind Geraden in allgemeinen euklidischen Raum definiert? Wie kann man beschreiben, dass Geraden in der Ebene parallel zueinander sind? Stellen Sie uns einige typische Sätze über Geraden in der Ebene vor (z. B. Strahlensatz, Satz von Desargues) [AF 2.1].
2. Leiten Sie her, was die Innenwinkelsumme in euklidischen Dreiecken ist. Wiederholen Sie den Kongruenz- und Ähnlichkeitsbegriff für Dreiecke, geben Sie Kriterien für diese Eigenschaften an und leiten Sie diese her. Erläutern und beweisen Sie den Satz des Pythagoras [AF 2.2]. Waldemar Schmidt
3. Wie kann man die euklidische Geometrie der Ebene axiomatisch beschreiben? Stellen Sie uns allgemein die axiomatische Beschreibung der Geometrie der Ebene vor [AF A.1 bis A.8, S. 145--147] vor und erläutern Sie anhand von Zeichnungen, warum diese Axiome in der euklidischen Geometrie der Ebene gelten. Sören Schlei, Daniel Welsch
4. Stellen Sie uns die Axiome einer geometrischen Ebene mit ihren metrischen Eigenschaften vor [AF, S. 147--149] und erläutern Sie diese. Wiederholen Sie, wie die linearen Isometrien des Rⁿ aussehen (Definition orthogonaler Abbildungen, Eigenschaften orthogonaler Matrizen, die Gruppen O(n)). Sören Schlei, Daniel Welsch
5. In der 5. Sitzung beschäftigen wir uns mit der Geschichte der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. Zentral ist die Äquivalenz des Parallelenaxioms zum Postulat, dass in einer Geometrie die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180 Grad ist.
6. Wiederholen Sie die Grundzüge der komplexen Zahlen, die Definition verallgemeinerter Kreise und Möbiustransformationen. Stellen Sie uns das Poincaré-Modell vor, definieren Sie das Doppelverhältnis und den hyperbolischen Abstand [AF 4.2 bis S. 154, K 3.3]. Nadja Mailänder
7. Wie kann man Winkel im Poincaré-Modell messen? [K 3.4] Christopher Loo
8. Stellen Sie uns vor, welche Innenwinkelsummen bei hyperbolischen Dreiecken vorkommen können [K S. 147]. Benutzen Sie die Cayleytransformation, um uns das Scheibenmodell der hyperbolischen Geometrie zu erklären [AF 4.3]. Jasmin Reinmuth
9. Erläutern Sie uns kurz den Begriff der elliptischen Geometrie [K 3.5.4] und stellen Sie uns die Grundlagen der sphärischen Geometrie vor [AF 5.1]. Severin Diederichs
10. Welchen Flächeninhalt haben sphärische Zweiecke und Dreiecke? Was gilt für die Innenwinkelsumme sphärischer Dreiecke? [AF Satz 14, 15 in 5.5] Safiyye Cavlak
11. Benutzen Sie sphärische Geometrie zur Routenplanung [F 1.4.1--1.4.3] und finden Sie damit kürzeste Verbindungen zum Beispiel zwischen Berlin und Moskau [AF S. 201, Aufgaben 9 bis 11]. (Dies ist eine Schulaufgabe aus den 50er Jahren.) Lana Vanessa Schirr
12. Wie setzt man sphärische Geometrie in der Funkpeilung und in der Astronomie ein? [F 1.4.4, 1.5.1] Lukas Faltin

Literatur: Für die Wiederholungen aus der Linearen Algebra benutzen Sie bitte ein entsprechendes Lehrbuch.

• [AF] Ilka Agricola, Thomas Friedrich, Elementargeometrie, 3. Auflage, Vieweg-Teubner 2011. (auch als e-book in der Bibliothek vorhanden)
• [E] Euklid, Die Elemente, Bücher I-XIII (Übersetzung: Clemens Thaer), Verlag Harri Deutsch, 1997.
• [F] Andreas Filler, Euklidische und nichteuklidische Geometrie, Mathematische Texte, B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. Auch elektronisch erhältlich.
• [K] Horst Knörrer, Geometrie, Vieweg Verlag, 1996.