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Seminar Große Kardinalzahlen
WS 2008/2009
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer 65-212
Veranstalter: PD Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Die Formalisierung einer Grundlage der Mathematik in den Axiomen von Zermelo und Fraenkel führt den Mathematiker unmittelbar auf theoretische Fragen, deren Antworten nicht mehr mit den Methoden der naiven Mengenlehre zu finden sind.

Aus einer naiven Einführung in die Mengenlehre kennt man den Begriff der Limeskardinalzahl (eine Kardinalzahl, die nicht Nachfolger einer anderen Kardinalzahl ist) und den Begriff der regulären Kardinalzahl (eine Zahl, die nicht als kleine Vereinigung kleiner Mengen gewonnen werden kann). Man kann beweisen, dass alle Kardinalzahlen, die kein Limes sind, regulär sein müssen und man kann Beispiele für nicht-reguläre (singuläre) Limeskardinalzahlen angeben. Aber gibt es reguläre Limeskardinalzahlen?

Die Antwort auf diese Frage überrascht: Wir können weder mit 'Ja' noch mit 'Nein' antworten, aber wenn es eine reguläre Limeskardinalzahl gibt, dann haben wir einen Konsistenzbeweis für die Axiome der Mengenlehre; eben jenen Beweis, von dem der Gödelsche Unvollständigkeitssatz sagt, dass er nicht im Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem geführt werden kann.

Eine einfache mengentheoretische Frage hat uns mitten in die Komplikationen der mathematischen Logik gebracht. Es stellt sich heraus, dass die regulären Limeskardinalzahlen (auch "unerreichbare Zahlen" genannt) lediglich der Anfang einer Hierarchie von Reichhaltigkeitsaxiomen für das mengentheoretische Fundament sind.

In dieser Veranstaltung wollen wir uns mit den Grundlagen der Theorie dieser sogenannten "Großen Kardinalzahlen" beschäftigen. Im Rahmen dieser Beschäftigung wird deutlich, warum die Mengenlehre und die mathematische Logik untrennbar miteinander verknüpft sind.

Ziel: Grundlegende Theorie der großen Kardinalzahlen: unerreichbare Zahlen, meßbare Zahlen, unendliche Kombinatorik (Partitionseigenschaften).
Für: Studierende der Mathematik (und ggf. mathematisch begabte Studierende anderer Fächer mit Interesse an Grundlagen der Mathematik und Metamathematik).
Vorkenntnisse: Solide Kenntnisse der naiven Mengenlehre werden vorausgesetzt (wie z.B. aus der Veranstaltung Naive Mengenlehre im vergangenen Semester). Grundlegende Kenntnisse der Logik sind wichtig. Diese können entweder in der Veranstaltung Grundbegriffe der Mathematischen Logik und Modelltheorie von Herrn Bandelt oder im Selbststudium erworben werden.
Literatur: Akihiro Kanamori, The Higher Infinite
Ort & Zeit: Die Lehrveranstaltung wird als Blockveranstaltung an zwei bis vier Tagen in der zweiten Januarhälfte 2009 angeboten.
Anmeldung: Ich bitte um Anmeldung per e-mail (an bloewe@science.uva.nl) und STiNE bis zum 12. Dezember 2008. Die Anmeldung per e-mail sollte Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, Ihren Studiengang und Ihr Fachsemester enthalten.
Studienleistungen. Für Studierende der Bachelorstudiengänge ist diese Veranstaltung das Modul S. Studierende der Diplomstudiengänge können in der Veranstaltung entweder einen Hauptseminarschein erwerben. Die erfolgreiche Teilnahme besteht aus der mündlichen Präsentation eines Abschnitts aus dem Buch von Kanamori und einer schriftlichen Ausarbeitung (10-15 Seiten).
Danach: Auf der Veranstaltung Große Kardinalzahlen kann man sowohl eine Bachelorarbeit (Modul BA) oder auch eine Diplomarbeit aufbauen. Einzelheiten können per e-mail oder im Rahmen des Seminars besprochen werden.

Last changed: August 23rd, 2008