UvA 
Logo

Proseminar
"Mengentheoretische Grundlagen des Zahlsystems"

SS 2007
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

LV-Nummer 11.142
Veranstalter: PD Dr. Benedikt Löwe, email: bloewe@science.uva.nl
Inhalt:

Der Aufbau des Zahlsystems, von den natürlichen Zahlen über die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen, wird häufig in den Anfängervorlesungen besprochen, ohne dabei ins Detail zu gehen. Es gibt viele verschiedene, aber äquivalente Möglichkeiten, die reellen Zahlen zu definieren. In diesem Proseminar wollen wir uns diese Definitionsmöglichkeiten im Detail und vor einem Hintergrund der naiven Mengenlehre ansehen.

Zunächst betrachten wir die axiomatischen Ansätze zur Definition der natürlichen Zahlen ("Peano-Axiome"), dann konstruieren wir die ganzen und rationalen Zahlen aus den natürlichen Zahlen. Danach untersuchen wir verschiedene Ansätze zur Konstruktion der reellen Zahlen und deren Äquivalenz.

Im zweiten Teil des Proseminars lernen wir die Ultrapotenzkonstruktion kennen und erlernen die Grundlagen der sogenannten Nichtstandard-Analysis, in der infinitesimale Elemente existieren.

Ziel: Detailverständnis der Konstruktionen des Zahlsystems
Für: Studierende der Mathematik (und ggf. mathematisch begabte Studierende anderer Fächer mit Interesse an Grundlagen der Mathematik).
Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in naiver Mengenlehre, wie sie in den Grundvorlesungen erarbeitet werden, sind nötig. Weiterführende Kenntnisse in Mengenlehre und Logik sind nicht notwendig, können aber helfen (insbesondere bei Vorträgen im zweiten Teil des Proseminars). Mathematische Reife (d.h. Erfahrung mit dem Erarbeiten von mathematischen Beweisen anhand eines gegebenen Textes) wird vorausgesetzt.
Literatur: Ebbinghaus, H.D., Hermes, H., Hirzebruch, F., Koecher, M., Mainzer, K., Neukirch, J., Prestel, A., Remmert, R., Zahlen, 3. Auflage 1992, Springer-Verlag, € 39,95.
Ort & Zeit: Das Proseminar wird als Blockveranstaltung vom 4. bis 7. Juli 2007 stattfinden. Anmeldung per e-mail an bloewe@science.uva.nl bis zum 1.5.2007 ist erforderlich für die Teilnahme. Bei der Anmeldung geben Sie bitte Studienfach, den angestrebten Studienabschluß und die Fachsemesterzahl an.
Ablauf. Jeder Teilnehmer des Proseminars wird zwei Kurzvorträge (45 Minuten) aus dem angegebenen Buch vorbereiten und im Rahmen des Seminars vortragen. Die Themenvergabe erfolgt per e-mail bis Mitte Mai.
Hauptseminarschein. Es ist möglich, in diesem Proseminar einen Hauptseminarschein zu erwerben. Interessenten müssen dies bei der Anmeldung angeben. In diesem Falle wird der zweite Kurzvortrag durch einen Vortrag aus der Forschungsliteratur ersetzt. Zusätzlich ist eine schriftliche Ausarbeitung des zweiten Vortrags (in LaTeX, mindestens 15 Seiten) nach dem Proseminar erforderlich.
Achtung! Die Anforderungen eines Hauptseminarscheins gehen weit über die eines Proseminarscheins voraus. Die zu bearbeitenden Forschungsartikel setzen solide Kenntnisse der mathematischen Logik (wie z.B. aus dem Proseminar Grundbegriffe der mathematischen Logik und Modelltheorie) voraus.
Angemeldete Studenten. Wladislaw Debus, Robert J. C. Himmelmann, Paul Humann*, Stephan Rickert, Florian Schiller* (*: ohne Vortrag)
Vorträge.
  1. Einführung; Benedikt Löwe, Mittwoch, 4.7., 15-16, Geom H5
  2. Die reellen Zahlen: Kapitel 2, §§ 2-5 (S. 30-43); Stephan Rickert, Mittwoch, 4.7., 16-18, Geom H5
  3. Nonstandard reelle Zahlen: Kapitel 12, §§ 1-3 (S. 255-269); Wladislaw Debus, Donnerstag, 5.7., 16-18, Geom 1241
  4. Conway-Zahlen: Kapitel 13 (S. 276-297); Robert Himmelmann, Freitag, 6.7., 16-18, Geom 1241

Last changed: June 13th, 2007