Janko Latschev
Vorlesung "Höhere Analysis", Wintersemester 2012/13
Die Lösungen zur ersten Klausur finden Sie hier.
Die zweite Klausur findet am 14. März ab 10:15 im Hörsaal H1 statt.
Als Vorbereitung sehen Sie hier das Deckblatt mit den Regeln.
Übungsblätter und Lösungsskizzen:
Das folgende Zusatzblatt enthält einige weitere Aufgaben und ist als Hilfe bei der Aufarbeitung des Stoffes gedacht.
Literatur zur Vorlesung:
Die Links zu den Büchern (außer Tao) funktionieren nur im Uni-Netz.
Logbuch:
| 15.10. | Lineare Algebra: Zusammenfassung zu alternierenden Multilinearformen; Tangentialraum an den Rn in einen Punkt, Vektorfelder, Differential einer Abbildung als Abbildung zwischen Tangentialräumen |
| 18.10. | k-Formen, das Differential einer Funktion als 1-Form, Spezialfall dxi, Rechenregeln, Zurückziehen von k-Formen entlang differenzierbarer Abbildungen, das äußere Differential |
| 22.10. | Rechenregeln für das äußere Differential, Beispiel, exakte und geschlossene Formen, sternförmige Mengen, das Poincarésche Lemma, Definition der de-Rham-Kohomologie
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| 25.10. | Berechnung von Primitiven für eine geschlossene Form; singuläre Würfel und Ketten, Standardwürfel und andere Beispiele, Definition und Eigenschaften des Randes singulärer Ketten
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| 29.10. | Integration von Differentialformen über singuläre Ketten, Kurvenintegrale als Beispiel, Effekt von Umparametrisierungen, Satz von Stokes für singuläre Ketten, Folgerungen
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| 01.11. | zweite Greensche Formel im R2, Gaußscher Mittelwertsatz für harmonische Funktionen im R2, Maximumprinzip für harmonische Funktionen im R2; Wiederholung: Untermannigfaltigkeiten
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| 05.11. | Beispiele für Untermannigfaltigkeiten, Tangentialkegel einer Teilmenge des Rn
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| 08.11. | Beispiele für nicht-Untermannigfaltigkeiten, Definition Untermannigfaltigkeit mit Rand, Beispiele, Charakterisierung der Randpunkte, Tangentialraum
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| 12.11. | differenzierbare Abbildungen, Differential als Abbildung zwischen Tangentialräumen, Vektorfelder, Ausdrücke in Karten, Kartenübergänge
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| 15.11. | Orientierungen von Untermannigfaltigkeiten, Beispiele, Kriterium für Orientierbarkeit, Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten, äußeres Differential, Rechenregeln, Zerlegung der Eins
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| 19.11. | Integration auf Untermannigfaltigkeiten, Definition der Volumenform, Ausdruck in lokalen Karten, Beispiele
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| 22.11. | äußeres Normalenvektorfeld, induzierte Volumenform auf dem Rand, Beispiel, Satz von Stokes für Untermannigfaltigkeiten, erste Folgerungen: Volumen der Sphären
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| 26.11. | weitere Folgerungen aus dem Satz von Stokes: Satz von Green, Satz von Gauß, Greensche Formeln, Satz von Hopf; der Fluss eines Vektorfeldes, vollständige Vektorfelder
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| 29.11. | Lieableitung einer Form in Richtung eines Vektorfeldes, Cartan-Formel, Divergenz als infinitesimale Volumenverzerrung;
Grundlagen der allgemeinen Maßtheorie: σ-Algebren, Beispiele, insbesondere Borelalgebra
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| 03.12. | messbare Räume und Abbildungen, Charakterisierung messbarer Funktionen, numerische Funktionen, Grenzwerte messbarer Funktionen sind messbar, einfache Funktionen, Approximation messbarer Funktionen durch einfache Funktionen, Maße: Definition, einfache Beispiele und elementare Eigenschaften
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| 06.12. | Integral einfacher Funktionen und seine Eigenschaften, Integral nichtnegativer Funktionen, Satz von Lebesgue über monoton konvergente Funktionenfolgen, Integration von Summen nichtnegativer Funktionen, Lemma von Fatou
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| 10.12. | Integral allgemeiner messbarer Funktionen, Eigenschaften des Integrals, Bedeutung von "fast überall", vollständige Maßräume, Satz von Lebesgue über die beschränkte Konvergenz, topologische Vorüberlegungen zur Konstruktion von Borelmaßen
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| 13.12. | stetige Zerlegung der Eins in lokal kompakten metrischen Räumen, Formulierung des Darstellungssatzes von Riesz für positive Funktionale auf Cc(X) (für (X,d) lokal kompakt), Beginn des Beweises: Konstruktion des äußeren Maßes, Carathéodory-Konstruktion der σ-Algebra
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| 17.12. | Fortsetzung des Beweises des Darstellungssatzes: innere Regularität für offene Mengen, Messbarkeit der Borelmengen
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| 20.12. | Abschluss des Beweises des Darstellungssatzes: Darstellungseigenschaft und Eindeutigkeit des Maßes, innere Regularität in σ-kompakten Räumen, Lebesgue-Algebra und Lebesgue-Maß im Rn, elementare Eigenschaften des Lebesgue-Maßes (Maß von Würfeln, Translationsinvarianz, Verhalten unter linearen Abbildungen)
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| 07.01. | Beispiele zum Lebesgue-Maß, Cantor-Menge, Cantor-Funktion, Charakterisierung Lebesgue-messbarer Funktionen (Satz von Lusin), Folgerung: (eigentlich) Riemann-integrierbare Funktionen sind Lebesgue-integrierbar
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| 10.01. | Banach-Räume: Definition und Beispiele, Äquivalenz von Normen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen, Operatornorm
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| 14.01. | Charakterisierung stetiger linearer Operatoren zwischen normierten Räumen, Raum der stetigen linearen Abbildungen als Banachraum, Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Definition der Lp-Räume
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| 17.01. | Lp ist ein Banach-Raum, Beispiele, Einbettungen von Lr in Lp für r>p und m(X)<∞, stetige Funktionen mit kompaktem Träger liegen für reguläre Maße auf lokal-kompakten Räumen dicht in Lp, Definition und Eigenschaften von L∞(ohne Beweis); Wiederholung Skalarprodukt, Schwarzsche Ungleichung
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| 21.01. | Hilbert-Räume, L2 als Beispiel, orthogonale Projektionen auf abgeschlossene Unterräume in einem Hilbert-Raum, Dualraum eines Hilbert-Raumes, Wiederholung Fourieranalysis: Orthonormalsysteme, Besselsche Ungleichung, Aussagen in L2 (zur Erinnerung hier noch einmal die Zusammenfassung zu Fourierreihen aus dem letzten Semester)
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| 24.01. | Produkt-σ-Algebra, verschiedene Charakterisierungen, messbare Funktionen im Produktraum, σ-endliche Maßräume, für messbare Teilmengen im Produkt stimmen die beiden Integrale der Schnittmaße überein
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| 28.01. | Definition des Produktmaßes, Satz von Fubini, Beispiele
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| 31.01. | Formulierung des Satzes von Fubini für das Lebesgue-Maß, Formulierung des Transformationssatzes für das Lebesgue-Maß, Ausblick auf weiterführende Vorlesungen
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