Dr. Ernst Kleinert

Fachbereich Mathematik der
Universität Hamburg
Bundesstr. 55
20146 Hamburg, GERMANY

kleinert@math.uni-hamburg.de

Arbeitsgebiete:

Zahlentheorie
Philosophie der Mathematik

Vorlesung im WS 17/18: Klassenkörpertheorie


Veranstalter: Ernst Kleinert


In der Klassenkörpertheorie gipfelt die bisherige Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie. Ihre Hauptresultate sind ein Existenzsatz: die abelschen Erweiterungen des Zahlkörpers K entsprechen bijektiv verallgemeinerten Idealklassengruppen von K, sodann das Artinsche Reziprozitätsgesetz: entspricht die Erweiterung L/K der Gruppe H, so ist H in kanonischer Weise isomorph zu Gal(L/K). Entsprechende Resultate für beliebige (galoissche) Erweiterungen von Zahlkörpern sind (seit mehr als 80 Jahren) Gegenstand laufender Forschung; der tiefste und am meisten versprechende Ansatz ist das Programm von Langlands.


Die Vorlesung bringt zunächst die klassische idealtheoretische Version der Hauptsätze, im Einzelnen: Galoistheorie und Primzerlegung – Frobeniusautomorphismus und Artinabbildung – Verallgemeinerte Idealklassengruppen – Reziprozitätsgesetz – Existenzsatz und Folgerungen. Vollständige Beweise können nicht gegeben werden, doch soll versucht werden, die „großen Linien“ der Argumentation nachzuzeichnen. Sodann wird die neuere ideltheoretische Formulierung vorgestellt, die eine direkte Fortsetzung in der Langlandskorrespondenz hat. Falls Zeit bleibt: abstrakte Klassenkörpertheorie nach Neukirch, lokale Klassenkörpertheorie.


Vorausgesetzt wird Grundwissen über algebraische Zahlkörper und ihre Komplettierungen.


Literatur wird in der Vorlesung angegeben.