Seminar zu großen Kardinalzahlen

Januar 2021, Universität Hamburg

Koordinierung: Dr. Yurii Khomskii

Teilnehmende:
  1. Philipp Dreibrodt
  2. Oliver Ehlbeck
  3. Johann Foth
  4. Alea Hofstetter
  5. Thomas Lesmann
  6. Luca Lüschen
  7. Julius Mann
  8. Laura Sophie Voss
  9. Jarla-Malin Zienert

Zoom Link: https://uva-live.zoom.us/j/85231505406?pwd=OW03R0RzSE1MRS9HeXpsNVBVMGFCQT09

Große Kardinalzahlen

Die sogenannten Große Kardinalzahlen sind Kardinalzahlen, die man sich als ``so groß'' vorstellen kann, dass deren Existenz nicht aus den üblichen Axiomen der Mengenlehre ZFC herzuleiten ist. Andererseits kann man die Existenz solcher Kardinalzahlen an sich als ein erweitertes Axiomensystem betrachten. Diese Erweiterte Systeme sind stärker als ZFC, insbesondere kann man in diesen Systemen die Widerspruchsfreiheit von ZFC beweisen (was ZFC selbst, nach Gödel's Zweitem Unabhängigkeitssatz, nicht kann). Dieser Zustand ist analog wie das Hinzunehmen des Unendlichkeitsaxiomes an die endliche Mengenlehre.

In diesem Seminar fangen wir erst mit einer Erinnerung der Kardinalzahlarithmetik an, kommen dann zu den Begriffen Kofinalität, Singuläre und Reguläre Kardinalzahlen, Unerreichbare Kardinalzahlen, und höherer Kardinalzahlen.

Literatur

Vorträge

Wann                 Wer                 Was                 Stoff                 Notizen                
1. Di 25 Januar, 16-18 Laura Sophie Voss Wiederholung: Kardinalzahlen und Kardinalzahlarithmetik
  • Ebbinghaus: IX §1 und §2
Notizen
2. Di 25 Januar, 18-20 Thomas Lesmann Nachfolger- und Limeskardinalzahl; Kofinalität;
  • Ebbinghaus: IX §3 bis (inkl.) beweis von 3.7
Notizen
3. Mi 26 Januar, 16-18 Jarla-Malin Zienert Kontinuumshypothese; Unerreichbare Kardinalzahlen (Definition)
  • Ebbinghaus: IX §4, nur bis A
  • Jech: S. 33, Theorem 3.11 und Definition "weakly inaccessible"
  • Jech: S. 58, "A cardinal κ is a strong limit..." bis "The Singular Cardinal Hypothesis".
Notizen
4. Mi 26 Januar, 18-20 Oliver Ehlbeck ZFC-Modelle, Metamathematik und Unerreichbare Kardinalzahlen
  • Jech: S. 161-168 außer "Consistency of the Axiom of Regularity"
Notizen
5. Do 27 Januar, 14-16 Julius Mann Messbare Kardinalzahlen I
  • Jech: Kapitel 10 "Measurable Cardinals",
             bis (einschl.) Beweis von Lemma 10.4
Notizen
6. Do 27 Januar, 16-18 Johann Foth Messbare Kardinalzahlen II
  • Jech: Kapitel 10 "Measurable Cardinals", S. 128 - 132
7. Do 27 Januar, 18-20 Alea Hofstetter Messbare Kardinalzahlen III
  • Jech: S. 158-161 (Ultraproduct und Satz von Los)
  • Jech: S. 285-289 (bis einschl. Beweis von Lemma 17.4)

    • Bemerkung: Sie können alles bezüglich "L" und "V=L" ignorieren.
Notizen
8. Fri 28 Januar, 14-16 Luca Lüschen "Weakly Compact" Kardinalzahlen I
  • Jech: S. 113 ("Weakly Compact Cardinals")

    • Für die Notation κ → (λ)nm benötigen Sie (9.3) auf Seite 109, und die Erklärung davor.
  • Jech: S. 113-114 (Trees bis einschl. Def 9.10)
  • Jech: S. 116-117 ("We now turn our attention ....." bis "Almost Disjoint Sets ... ")
Notizen
9. Fri 28 Januar, 16-18 Philipp Dreibrodt "Weakly Compact" Kardinalzahlen II
  • Jech: S. 120 - 121 ("The Tree Property...")
  • Jech: S. 289 - 294