Vertiefung Mengenlehre

Sommer Semester 2016


Wöchentlicher Inhalt

Vorlesung    Datum    Stoff    Abschnitte im "Kunen" Hausaufgaben Extra Stoff (zum Spass)   
1 4 April   
  • Einführung
  • Die Idee der relativen Konsistenzbeweise
  • Relativierung und Beispiele
  • Metasprache und formale Sprache
  • Kapitel 0
  • Abschnitte I.1, I.2 und I.3 (zur "Erfrischung" auch I.4 und I.5)
  • Abschnitte I.14 und I.15 kann man ganz lesen, wichtig sind aber vorläufig S. 99-103.

Kopie der Abschnitte aus Kunen.

Einige wichtige Anmerkungen zu Kunens Lehrbuch.
Woche 1.pdf Wilfred Hodges, An Editor Recalls Some Hopeless Papers

Ein witziger Artikel.
2 11 April   
  • Die formale ⊨ Beziehung
  • Definierbarkeit und Undefinierbarkeit des Wahrheitsprädikates
  • Absolutheit
  • Δ0-Aussagen
  • Abschnitt I.15 bis S. 87.
  • Abschnitt I.16.
  • Zusammenfassung der Metamathematik: dieser Abschnitt aus T. Jech "Set Theory".

Bemerkung: Eine übersichtlichere Einführung zum Thema Relativierung, relative Konsistenz und Absolutheit bieten die entsprechenden Abschnitte aus der ehemaligen Ausgabe von Kunen (1980).
Woche 2.pdf www.youtube.com/watch?v=1bZv3pSaLtY

Ein Interview mit Bertrand Russell (bekannt vom Russellschen Paradoxon), aufgenommen im Jahre 1959. Zwar hat es mit Mengentheorie nicht viel zu tun, aber trotzdem interessant.
3 18 April   
  • Mehr Absolutheit
  • Absolutheit von Klassen und Konstanten
  • Modelle von ZFC-Fragmenten
  • Vλ ⊨ ZFC \ Replacement für alle Limesordinalzahlen > ω
  • Hκ ⊨ ZFC \ Power Set für alle Reguläre Kardinalzahlen > ω
  • Stark unerreichbare Kardinalzahlen
  • Abschnitt II.2 (achten Sie dabei nicht auf WF, sondern nur auf "R(γ)")
  • Abschnitt II.4
  • Abschnitt I.13, S. 77-79 (für die Definition und Eigenschaften von Hκ und von α)

Woche 3.pdf
4 25 April   
  • Stark unerreichbare Kardinalzahlen
  • Tarski-Vaught Kriterium und der Löwenheim-Skolem-Satz
  • Reflexionssätze
  • Definition von D(A) und L
  • Abschnitt II.5
  • Abschnitt II.15, S. 87-89
  • (Zu Erfrischung des Mostowski-collapse) S. 56-58
  • Abschnitt II.15, S. 93-94 (Def. von D(A))

Woche 4.pdf
5 2 Mai   
  • Einfache Eigenschaften von L und den Lδ.
  • L ⊨ ZF
  • Das Axiom V = L
  • Absolutheit und Minimalität von L
  • Abschnitt II.6 bis Ende S. 137

Woche 5.pdf
6 9 Mai   
  • L ⊨ AC
  • L ⊨ GCH
  • Abschnitt II.6, S. 138-141

Woche 6.pdf Zur Vorbereitung auf das nächste Thema, ein sehr interessanter Artikel von Paul Cohen zu seiner Erfindung.

Paul Cohen, The Discovery of Forcing
7 23 Mai   
  • Martins Axiom
  • Eine Anwendung von MA in der Maßtheorie
  • Abschnitt III.3, S. 170-175
  • S. 178-179

Woche 7.pdf
8 30 Mai   
  • Generische Filter
  • P-Namen und G-Interpretation der P-Namen
  • Die Definition von M[G]
  • Eigenschaften von M[G]
  • Abschnitt IV.1
  • Abschnitt IV.2 bis S. 249

Woche 8.pdf
9 6 Juni   
  • Die semantische und syntaktische Forcingrelation
  • Definierbarkeitslemma und Wahrheitslemma (ohne Beweise)
  • M[G] ⊨ ZFC
  • Abschnitt IV.2, S. 249-255

Hier ist ein schöner Abschnitt aus der alten Ausgabe von Kunen, wo die verschiedenen Konzipierungen von generischen Erweiterungen dargestellt werden.
Woche 9.pdf Akihiro Kanamori, Cohen and Set Theory

Ein Artikel über Paul Cohen und die Geschichte der Forcing-methode.

10 13 Juni   
  • Der Beweis der Definierbarkeits- und der Wahrheitslemma
  • Abschnitt IV.2, S. 255-260
Woche 10.pdf Ein 6-teiliges Video von einem Vortrag von Paul Cohen, in Wien in 2006

    Teil 1/6
    Teil 2/6
    Teil 3/6
    Teil 4/6
    Teil 5/6
    Teil 6/6

11 20 Juni   
  • Ende des Beweises der Definierbarkeits- und der Wahrheitslemma
  • Cohen forcing
  • ccc und Bewahrung von Kardinalitäten
  • Abschnitt IV.2, S. 260-261
  • Abschnitt IV.1
  • Abschnitt IV.3 bis S. 263
Woche 11.pdf
12 27 Juni   
  • ccc und Bewahrung von Kardinalitäten
  • Δ-Systemenlemma
  • "gute Namen" und obere Schranke für die Kardinalität von 20
  • Abschnitt IV.3, S. 262 - 266
  • Definition III.2.5 und Lemma III.2.6 (Δ-Systemen)
Woche 12.pdf
13 4 Juli   
  • Der Wert von 20 in Forcing-erweiterungen
  • Cohen-forcing für höhere Kardinalitäten
  • Iterationen
  • Abschnitt IV.3, S. 266
  • Abschnitt IV.7: S. 288 - 293
  • Abschnitt V (S. 315 - 315)
Keine Hausaufgaben mehr!
14 11 Juli   
  • Forcingsiterationen
  • Die Konsistenz von MA
  • Abschnitt V Einführung
  • Abschnitt V.3
  • Abschnitt V.4 bis S. 337.
Keine Hausaufgaben mehr!

     
Mündliche Prüfung: 26.07.2016, 15:00 - 17:15 in Geom 409.
  • Relative Konsistenzbeweise, formale Sprache und Metasprache
  • ZFC-Modelle und Absolutheit, Δ0-Aussagen
  • Modelle von ZFC-Fragmenten, z.B. Vλ und Hκ; stark unerreichbare Kardinalzahlen
  • Der Satz von Löwenheim-Skolem und Reflexionssätze
  • L, das Axiom V=L, das Auswahlaxiom und GCH in L
  • Martins Axiom
  • Die Grundbegriffe der Forcingmethode: generische Filter, dichte Mengen, Antiketten, P-Namen u.s.w.
  • Die semantische und syntaktische Forcingrelation
  • Die ZFC-Axiome in M[G]
  • Der Konsistenzbeweis von ¬CH und ¬GCH
Der Inhalt der letzten Vorlesung (Konsistenz von MA) ist kein Prüfungsstoff