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Vorlesung Diophantische Approximation


Termine:
Vorlesung: Dienstags 10:15-11:45 Uhr, Geom H6
Übung: Dienstags 12:00-12:45 Uhr, Geom 430
Sprechstunde: nach Vereinbarung, Geom 335


Übungen:
Die Übungsblätter werden Dienstags hier veröffentlicht und sind in der folgenden Woche abzugeben.


Kommentare/ Inhalte:
Siehe die ausführliche Beschreibung der Vorlesungsinhalte. Siehe auch die Stine-Seite der Veranstaltung. Einen guten Überblick liefern auch die englischsprachigen Wikipediaseiten zur Diophantischen Approximation sowie zur Transzendenztheorie.

Die klassische diophantische Approximation, die im ersten Teil der Veranstaltung behandelt wird, ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie und beschäftigt sich mit der Frage, wie gut sich reelle Zahlen durch rationale Zahlen approximieren lassen.
Im zweiten Teil der Veranstaltung werden wir uns mit der Transzendenztheorie beschäftigen. Hier interessiert man sich dafür, ob eine gegebene reelle Zahl algebraisch ist, also eine Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten in einer Variablen. Wir werden verschiedene Techniken aus der Transzendenztheorie kennenlernen und z.B. beweisen dass die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π nicht algebraisch sind. Aus der zweiten Aussage folgt u.a. die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises.

Diese Veranstaltung lässt sich besonders vorteilhaft mit der Vorlesung Einführung in die algebraische Zahlentheorie bei Herrn Kleinert kombinieren.


Lernziele:
(i) Klassische Approximationsresultate: Satz von Dirichlet, Satz von Kronecker, Kettenbruchentwicklung reeller Zahlen, Satz von Liouville, Satz von Thue.
(ii) Transzendenzresultate: Satz von Hermite (e nicht algebraisch), Satz von Lindemann-Weierstraß (⇒ u.a. π nicht algebraisch), Linearformen in Logarithmen (evtl.)
(iii) Anwendungen: Thue-Gleichungen, Pellsche Gleichungen

Diese Veranstaltung kann als Vorbereitung auf eine Abschlussarbeit in der Zahlentheorie dienen. In diesem Fall empfiehlt sich auch ein Besuch der Vorlesung Einführung in die algebraische Zahlentheorie bei Herrn Kleinert sowie des Seminars Arithmetische Geometrie und Zahlentheorie bei Herrn Kühn.


Vorkenntnisse:
Diese Veranstaltung richtet sich an Masterstudierende sowie Bachelorstudierende ab dem 5. Semester, die Algebra 1 gehört haben. Zahlentheoretische Vorkenntnisse sind nicht erforderlich.


Literatur:
Alan Baker. Transcendental number theory. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 1990.
Jan Hendrik Evertse. Diophantine approximation, Vorlesungsskript, Universiteit Leiden, 2012.
Serge Lang. Introduction to Diophantine approximations. Springer-Verlag, New York, second edition, 1995.
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation, volume 785 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980.
Jörn Steuding. Diophantine analysis. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2005.
Jürgen Wolfart. Diophantische Approximation, Vorlesungsskript, Unviersität Frankfurt, 2013.


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