Michael Hinze:
On the Numerical Treatment of Minimal Surfaces with Polygonal
Boundaries
This work is concerned with the approximation and the numerical computation of polygonal minimal
surfaces in $\R^q \ (q \ge 2)$.
Polygonal minimal surfaces correspond to the critical points of Shiffman's function $\Theta$. Since
this function is analytic, polygonal minimal surfaces can be characterized by means of the
second derivative of $\Theta$.
We present a finite element approximation of quasiminimal surfaces together with an error estimate.
In this way we obtain discrete approximations of the functions $\Theta$ and $\nabla \Theta$.
In particular we prove that the discrete functions are analytic and converge
uniformly on certain compact subsets. Moreover, we prove existence and convergence of discrete
minimal surfaces in neighbourhoods of non-degenerate minimal surfaces.
In the numerical part of this work we
compute numerical approximations of polygonal minimal surfaces by use of Newton's method,
adjust a bisectional algorithm to the numerical computation of minimal surfaces that are bounded
by a polygon and, finally present numerical investigations on the totality of minimal surfaces that
are bounded by one-parameter families of polygonal contours.
Zusammenfassung
Diese Arbeit besch\"aftigt sich mit der Approximation und der numerischen Berechnung polygonal
berandeter Minimalfl\"achen in $\R^q \ (q \ge 2)$.
Polygonal berandete Minimalfl\"achen korrespondieren zu den kritischen Punkten der Shiffman'schen
Funktion $\Theta$ und k\"onnen aufgrund der Analytizit\"at dieser Funktion mithilfe der zweiten
Ableitungen charakterisiert werden.
Wir geben eine Finite-Elemente Approximation von Quasiminimalfl\"achen zusammen mit einer
Fehlerabsch\"atzung an und erhalten so diskrete Approximationen der Funktion $\Theta$ sowie deres
Gradienten. Insbesondere gelingt es uns, die Analytizit\"at der diskreten Funktionen und deren
gleichm\"a{\ss}ige Konvergenz auf kompakten Teilbereichen zu beweisen. Dar\"uber hinaus beweisen
wir Existenz und Konvergenz diskreter Minimalfl\"achen in Umgebungen nicht degenerierter
Minimalfl\"achen.
Im numerischen Teil der Arbeit berechnen wir mithilfe eines Newton Verfahrens numerische
Approximationen polygonal berandeter Minimalfl\"achen, modifizieren einen mehrdimensionalen
Bisektionsalgorithmus zur numerischen Berechnung von Minimalfl\"achen mit polygonalem Rand und
pr\"asentieren abschlie{\ss}end numerische Untersuchungen des Minimalfl\"achenkontinuums zweier
einparametriger Scharen von Polygonen.
Home