Lorenz Gleichungen

Seminar Dynamische Systeme
SS 2006


Aleksander Hinz



Fragestellung

Probe mit einem Computer das Wetter auf nichtlinearem und nicht statistischem Weg zu beschreiben.

Betrachtet wird zunächst eine 2 dimensionale Schicht (Flüssigkeit / Gas) welche von unten angeheizt wird. Dies entspricht der Erdaufheizung der Erde durch die Sonne und der Atmosphere. Es herrsche die Temperaturdifferenz von ΔT = T_bot - T_top, wobei T_bot>T_top.
Ist diese klein so gibt es keine Bewegung und die Temperatur wird über die Mohlekühlbewegung allein übertragen (lineares Temperaturverlauf).
Beim weiterem Ausheizen sind Rollen zu sehen
Saltzmann beschrieb diese Bewegung durch:


∂ ∇^2ψ/∂ t = -∂ (ψ, ∇^2ψ)/∂ (ξ, η ... 952;)/∂ (ξ, η) + ΔT/H∂ ψ/∂ ξ + κ * ∇^2θ

wobei ξ, η räumliche Koordinaten, t die Zeit sind. ψ ( ξ, η, t ) ist die Stromfunktion, θ ( ξ, η, t ) stellt die Temperatur dar, H ist die Höhe der Schicht, g ist die Gravitationskonstante, α ist thermischer Expansionskoeffizient, ν die Viscosität und κ die Thermale Konduktivität.

Gilt

ρ_a = g α H^3ΔT/(ν κ) > π^4/a^2 (1 + a^2)^3 = ρ_c, a > 0

so erhält man die Lösungen

ψ(ξ, η, t) = X_0sin((π a)/Hξ) sin(π/Hη)

θ ( ξ, η, t ) = Y_0cos((π a)/Hξ) sin(π/Hη)

die die Rollen beschreiben (X_0 und Y_0 sind Konstanten). Dies sind stationäre Lösungen, da t keine Rolle mehr spielt.

Mit dem Ziel der besseren Beschreibung für größere ΔT hat Saltzman nun eine Zeitabhängige Fourierentwicklung durchgeführt und die nun zeitabhängigen Koeffizienten als neue Unbekannte gesetzt. 7 physikalisch interessante Gleichungen wurden weiteruntersucht, von denen 3 bei langen Zeiten nicht Null werden.

Lorentz begann Modelierung der zeitlichen Lösungen gleich mit Hinblick auf diese und erhielt:

ψ(ξ, η, t) = X(t) sin((π a)/Hξ) sin(π/Hη)

θ ( ξ, η, t ) = Y(t) cos((π a)/Hξ) sin(π/Hη) + Z(t) sin((2π)/Hη)

setzt man dies in die Bewegungsgleichungen von Saltzman ein, so erhält man

Overscript[x, .] = σ (y - x)

Overscript[y, .] = ρ x - y - x z

Overscript[z, .] = - β z + x y

wobei

(x, y, z) ∈ ^3   und   σ = ν/κ, ρ = ρ_a/ρ_c, β = 4/(1 + a^2)

aus physikalischen Gründen wird a = 1/2^(1/2)gewählt und somit wird β = 8/3, σ = 10 ist typisch für Flüssigkeiten, σ≈4.8 für Wasser, σ≈1.

Lorenz merkte, daß bei seinen Anfangswerten und Anfangsparametern schon kleine Differenzen zu komplett verschiedenen Resultaten führten ⇒ langfristige Wettervorhersage ist unmöglich, da Anfangsdaten immer mit einem gewissen Fehler vorliegen.

Parameterbetrachtungen und Attraktor

Es werden σ und β fixiert und das System unter unter verschiedenen ρ betrachtet

Es gibt eine einfach zusammenhängedne Region D ⊂  ^3 die den Ursprung enthält, sodaß das Vektorfeld nach innen zeigt. Dieses beinhaltet einen Attraktor (Menge)

A = ⋂_ ( t⩾0) ϕ_ ( t) (D)

"An attractor is a bounded refion in phase-space, invariant under time evolution, such that the forward trajectories of most, or even all, nearby points converge to it." Strange, wenn "trajectories converging to the attractor are sensitive with respect to the initial conditions"

Lorenzattraktor ist weder hyperbolisch noch strukturell stabil, aber trotzdem "robustes" Verhalten auf (weiter Parameterbereich liefert vergleichbares Ergebniss).

Dieser hat hier das Volumen 0, da die Spur der Jacobideterminante (Divergenz des Vektorfeldes) negativ ist

∂ /∂x (σ(y - x)) + ∂ /∂y (ρ x - y - x z) + ∂ /∂z (-β z + x y) = -(σ + 1 + β)

ρ < 1

In[2]:=

ρ = 0.75 ;

In[17]:=

NDSolve[{x '[t] σ * (y[t] - x[t]),   y '[t] ρ * x[t] - y[t ... 1] 0.1, z[1] 0.1, x[1] 0.1}, {x, y, z}, {t, 1, 10}, MaxSteps->100000] ;

In[18]:=

Show[Graphics3D[Line[Table[{ (x/.First[%]) [t], (y/. First[%]) [t], (z/. First[%]) [t]}, {t, 1, 10, 0.01}]]], AxesTrue]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_29.gif]

Out[18]=

⁃Graphics3D⁃

In[19]:=

Plot[Evaluate[ x[t] /. %%], {t, 1, 10}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_32.gif]

Out[19]=

⁃Graphics⁃

In[20]:=

Plot[Evaluate[ y[t] /. %%%], {t, 1, 10}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_35.gif]

Out[20]=

⁃Graphics⁃

In[21]:=

Plot[Evaluate[ z[t] /. %%%%], {t, 1, 10}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_38.gif]

Out[21]=

⁃Graphics⁃


Allgemein gilt, daß in diesem Fall der Ursprung ein hyperbolischer Tiefpunkt und einizger Attraktor ist

ρ = 1

Hier erhält man die Eigenwerte λ_1 = 0 ,  λ_2 = -β,  λ_3 = -(1 + σ) und man erhält eine Heugabel bei einer Wahl von β = 0

ρ > 1

Der Ursprung ist ein Sattelpunkt mit einer instabilen Untermannigfaltigkeit

Man erhält die beiden nichttrivialen Fixpunkte bei

(x, y, z) = ( β(ρ - 1)^(1/2),  β(ρ - 1)^(1/2), ρ - 1) =  a

Diese werden zu Tiefpunkten, falls ρ ∈ (1, ρ_h) mit ρ_h = σ(σ + β + 3)/(σ - β - 1)

In[55]:=

ρ = 23.5 ;

In[60]:=

NDSolve[{x '[t] σ * (y[t] - x[t]),   y '[t] ρ * x[t] - y[t ... 1] 0.1, z[1] 0.1, x[1] 0.1}, {x, y, z}, {t, 1, 50}, MaxSteps->100000] ;

In[61]:=

Show[Graphics3D[Line[Table[{ (x/.First[%]) [t], (y/. First[%]) [t], (z/. First[%]) [t]}, {t, 1, 50, 0.01}]]], AxesTrue]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_51.gif]

Out[61]=

⁃Graphics3D⁃

In[62]:=

Plot[Evaluate[ x[t] /. %%], {t, 1, 50}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_54.gif]

Out[62]=

⁃Graphics⁃

In[67]:=

NDSolve[{x '[t] σ * (y[t] - x[t]),   y '[t] ρ * x[t] - y[t ... 2513; -0.1, z[1]  -0.1, x[1]  -0.1}, {x, y, z}, {t, 1, 50}, MaxSteps->100000] ;

In[68]:=

Show[Graphics3D[Line[Table[{ (x/.First[%]) [t], (y/. First[%]) [t], (z/. First[%]) [t]}, {t, 1, 50, 0.01}]]], AxesTrue]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_58.gif]

Out[68]=

⁃Graphics3D⁃


ρ≥ρ_h

Eine Hopfgabelung tritt bei den beiden Fxpunkten auf (für  ρ = ρ_h) und für  ρ≻ρ_h sind alle Fixpunkte instabil, jedoch existiert immer noch eine anziehende Menge A = ⋂_ ( t⩾0) ϕ_ ( t) (D)

In[3]:=

ρ = 28 ;

In[8]:=

NDSolve[{x '[t] σ * (y[t] - x[t]),   y '[t] ρ * x[t] - y[t ... ] 0.1, z[1] 0.1, x[1] 0.1}, {x, y, z}, {t, 1, 100}, MaxSteps->100000] ;

In[9]:=

Show[Graphics3D[Line[Table[{ (x/.First[%]) [t], (y/. First[%]) [t], (z/. First[%]) [t]}, {t, 1, 100, 0.01}]]], AxesTrue]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_67.gif]

Out[9]=

⁃Graphics3D⁃

In[10]:=

Plot[Evaluate[ x[t] /. %%], {t, 1, 50}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_70.gif]

Out[10]=

⁃Graphics⁃

In[11]:=

Plot[Evaluate[ y[t] /. %%%], {t, 1, 50}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_73.gif]

Out[11]=

⁃Graphics⁃

In[13]:=

Plot[Evaluate[ z[t] /. %%%%%], {t, 1, 50}]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_76.gif]

Out[13]=

⁃Graphics⁃

Semifluß

Betrachtet wird nun ein Semifluß als Grenzwertbetrachtung für den ursprünglichen Fluß für große Zeiten. Dieser hat die Eigenschaften, daß Betrachtungen in zeitlich umgekehrter Richtung das Verzweigungsintervall  [-a, a] erreichen und dort nicht mehr eindeutig feststellbar ist aus welchem Zweig der Fluß kam.

Die Eindeutigkeit der Lösung von dem Anfangswertproblem ist somit verletzt.

Lorenz benutzte diese Tatsache um Argumentieren, daß A unendlich viele Blätter hat und das Lösungen sich nicht schneiden, sondern von Blatt zu Blatt sich bewegen.

First return map

Betrachtung der Fläche Σ mit der Eigenschaft, daß P(Σ) ∈ Σ, wobei P eine invertierbare Poincaréabblidung ist.
Einschränkung von Σ auf das Intervall  [-a, a] und der zu P äquvalenten Abbildung f mit

f : I→I


Also ist f die Poincaréabbildung vom Semifluß

Zeit für den first return ist unterschiedlich und geht gegen ∞ falls man sich der Mitte von I nähert.


Über f ist folgendes bekannt:

f ' ≻ 1, was deutlich in der sich steigernden Oszillation zu sehen ist

f hat keine Fixpunkte in I

 Discontinuität bei y = 0 (gut zu sehen bei f ') , zeigt den Vorzeichenwechsel an

 weiter gilt:

f(0^-) = -f(0^+) = a , f(a) = -f(-a) ≻0 , Underscript[ lim, x0] (f ' (x)) = ∞ , f^2(-a) ≻f(a) , f^2(a) < f(-a)


f heißt Lorenzabbildung

  Eine Betrachtung beschränkt nur auf f geht sicherlich mit einem Detailverlust einher, genügt aber in erster Näherung.

f ' erhält man über:

(f^k(p)) ' = Underoverscript[∏, j = 0, arg3] f ' (f^j(p))

Dies ist größer als 1, da ale Faktoren selbst bereits größer als 1 sind.

Orbits (unstabile) mit Persiode 2 und 3 sind zu finden über:

Sei I_1 =[-a, 0] und I_2 = [0, a], so ist

f(I_1) =[f(-a), a] ⊃ I_2 und f(I_2) =[-a, f(a)] ⊃ I_1, so daß

f^2(I_i) = I_1⋃ I_2 = I für i = 1, 2

entsprechendes bei

f^k(I_i) = I  ∀k⩾2

womit

f^k(I_i) ⊃ = I_i

und f^k hat somit mindestens 2 Fixpunkte für alle k, woraus folgt, daß f periodische Orbits hat.


Weiter gilt (da immer f ' (x) > ( 2 )^(1/2)) : Jedes Subintervall J überdeckt nach n Schritten I, womit alle Punkte nicht wandernd sind.
Weiter gilt: Bereits mit f ' >1 gilt für 2 beliebig nahe Punkte x, y ∈ I, daß sie Bilder f^n(x), f^n(y) haben, welche auf verschiedenen Seiten von 0 liegen. Ist dies der Fall, so verhalten sie sich völlig unabhängig voneinander und die Orbits sind nicht dicht. Dieses Ausspitten hängt von den Positionen der Urbilder vom Ursprung 0, f^(-k)(0) ab. Da f^(-1)die möglichen Werte verdoppelt, wächst die Anzahl an Urbildern f^(-k)(0) mit 2^k. Nur diese liegen dicht in I.

Die lokale Expansion und das obrige unabhängie Verhalten (deutlich zu sehen an den Urbildern) belibig naher Orbits nennt man sensitive dependence on initial conditions

Der Attraktor und seine Untersuchung

Aus der Tatsache, daß zwei nahe liegende Punkte irgendwann auf verschiedenen Blättern liegen und das es Orbits gibt die dicht liegen, folgt, daß der Attraktor "dynamically indecomposable" ist, d.h. er kann nicht mehr weiter in kleinere geschlossene Stücke geteilt werden, die invariant unter dem Fluß sind.

Allg. läßt sich zeigen, daß jeder Fluß, der die Anfangsgleichungen erfüllt zu einem strange Attrakor tendiern muß.
Weiter läßt sich zeigen, daß robuste Attraktoren einen Sattelpunkt haben müssen und das alle Attraktoren dann die selben Eigenschaften haben wie der hier untersuchte.

Probleme bei der Untersuchung ergeben sich vorallem bei dem Sattelpunkt, da hier die Orbits langsam verlaufen (viele Rechenschritte nötig ⇒ viele numerische Ungenauheiten)

Bild "suspended horseshoe"

Beim Vorhandensein solcher Ebenen kann man schließen, daß es eine endliche Menge an periodischen Trajektorien gibt.

Beweisidee des Attraktors

Beweis geht über zwei Schritte

 Zunächst wurde eine Ebene Σ gefunden mit der Region N in Σ. so daß alle Orbits die in n starten    auch immer dort zurückfinden / Abdeckung dieser Region N mit Rechtecken / Rechtecke kehren zu Σ zurück.

Problem jedoch wieder der Sattelpunkt !

 Welchsel in ein solches Koordinatensystem, sodaß Trajektorein linear angenähert werden können, was besser ist als die integrale numerische Berechung jeden einzelnen Schrittes.

Urbilder und Heimnumerik 

Nun wird f durch die folgende Funktion angenähert:

f(x) =                  α                 1 - β | x |       ;   &n ...   ;     x∈ (0, 1]          

durch die Wahl von

α<1, β∈ (1, 2)   und  αβ > 1

wird

f ' = αβ | x |^(α - 1) >1

und mit

α = 1/β + 0.001

wird die Ableitung nahe bei eins nahe an den Fixpunkten sein. Dies simuliert den langsamen Oszillationsanstieg dort.

In[64]:=

Show[Plot[-1 + β * (Abs[x])^α, {x, 0, 1}], Plot[1 - β * (Abs[x])^α, {x, -1, 0}], Plot[x, {x, -1, 1}]]

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_122.gif]

Out[64]=

⁃Graphics⁃

Bevor man sich tiefe Rekursionen zu verdeutlichung der Anfangssensibilität anschaut, muß man sich vergewissern wie genau numerisch das benutzte Programm rechnet. Hierzu zunächst die genaue Rechung (d.h.z.B.: Zahlen werden als Brüche behandelt und nicht Näherungsweise als Dezimalzahlen). Man nähme die Anfangswerte

β = 195/100  und  x_0 = 10^(-8)

Man erhält für die ersten 45 Iterationen (returns):

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_125.gif]

Führt man nun die selbe Rechnung mit der Standartnäherung durch, so erhält man:

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_126.gif]

Bei 45 Schritten erhält man mit Mathematia eine Abweichung von 0,538611.

Somit ist eine Beschränkung auf 45 Schritte bei dieser Betrachtung sinnvoll.

Zunächst sei

β = 1.95  und  x_0 = 10^(-8)

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_128.gif]


β = 1.95  und  x_0 = 0.9999 * 10^(-8)

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_130.gif]


β = 1.95  und  x_0 = 1.0001 * 10^(-8)

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_132.gif]


β = 1.95  und  x_0 = 1.0001 * 10^(-8)

[Graphics:HTMLFiles/Lorenz_134.gif]



Somit kommt man zum Schluß, das nicht nur Lorenzabbildungen sich chaotisch verhalten, sondern auch einparametrige Familien von solchen Abbildungen (womit dies also "vererbt" wird). Auch wird deutlich, das die Urbilder dicht liegen müssen.


 (April 17, 2006)