MSc-Vorlesung über Lie-Gruppen im Sommersemester 2013

Inhalte der Vorlesung:

Lie-Gruppen (benannt nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie) sind Gruppen, die gleichzeitig differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, so dass die Gruppenoperationen mit der differenzierbaren Struktur kompatibel sind. Viele Beispiele von Lie-Gruppen sind Matrixgruppen, wie die allgemeine lineare Gruppe GL(n), oder die orthogonale Gruppe O(n). Als Symmetriegruppen verschiedenster Strukturen treten Liegruppen in vielen Gebieten der Mathematik und theoretischen Physik auf. In dieser Vorlesung wird das Zusammenspiel von Geometrie, Topologie und Algebra, das schon durch die bloße Definition von Lie-Gruppen angedeutet wird, eine wichtige Rolle spielen. Themen werden unter anderem sein: Matrixgruppen, Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren, nilpotente, auflösbare, einfache und halbeinfache Lie-Gruppen, kompakte Lie-Gruppen, reelle und komplexe Lie-Gruppen, sowie (am Ende, wenn wir auf die Klassifikation komplexer einfacher Liegruppen hinarbeiten werden) Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme.

Die Vorlesungssprache (Deutsch oder Englisch) wird in der ersten Vorlesung entschieden.

Voraussetzungen:

Neben guten Kenntnissen der linearen Algebra und Analysis werden wir Vertrautheit mit einigen wenigen differentialgeometrischen Begriffen wie dem einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und des Tangentialraumes voraussetzen. Falls Sie unsicher sind, ob Ihre Kenntnisse ausreichen, schreiben Sie mir bitte eine Email.

Literatur:

D. Bump, Lie Groups, Springer.
J. J. Duistermaat und J. A. C. Kolk, Lie Groups, Springer.
A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser.