65.409/410: Globale Riemannsche Geometrie (MSc-Vertiefungsmodul)
Veranstalter: Vicente Cortés, email: cortes at math.uni-hamburg.de
Inhalt: - Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume
- Der Satz von Hopf-Rinow
- Das Bogenlängenfunktional; Geodäten und Jacobifelder
- Die Sätze von Bonnet-Myers und Cartan-Hadamard
- Holonomiegruppen
- Bergers Klassifikation der Riemannschen Holonomiegruppen
- Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie
Ziele: - Vertrautheit mit globalen Methoden und Resultaten der Riemannschen Geometrie
- Verständnis der Auswirkungen von Krümmungseigenschaften auf die Topologie Riemannscher Mannigfaltigkeiten
- Aneignung grundlegender Begriffe und Techniken der Holonomietheorie
Vorkenntnisse: Grundkenntnisse der Differentialgeometrie im Umfang der Differentialgeometrievorlesung im Bachelorstudiengang Mathematik; Das deutschsprachige Skript der BSc-Vorlesung wird den Teilnehmern/innen bei Bedarf zur Verfügung gestellt. Englischsprachige Alternative: O'Neill, Barrett, Semi-Riemannian geometry, With applications to relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, New York-London etc.: Academic Press, XIII (1983), bis Seite 127.
Literatur: Ein Skript mit detaillierten Literaturangaben wird parallel zur Vorlesung erstellt. Englischsprachige Standard-Referenzen sind u.a.: Cheeger-Ebin, Comparison theorems in Riemannian geometry; O'Neill, Semi-Riemannian Geometry; Kobayashi-Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I (besonders für die Holonomietheorie). Zu empfehlen ist auch das neue Springer-Lehrbuch von Baum, Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln.
Anmerkungen: Die Vorlesung ist vierstündig mit zweistündigen Übungen und wird durch ein Seminar (über Yang-Mills-Theorie) begleitet. Die aktive Teilnahme am Seminar wird allen empfohlen, insbesondere denen, die eine Masterarbeit in Differentialgeometrie schreiben möchten.
Ort und Zeit: Vorlesung:  Mo 14:15-15:45 Geom H5 und Do 12:00-13:30 Geom H6
Übungen:   Do 8:15-9:45, Geom 430
Übungsblätter:
Modulabschlußprüfung: Mündliche Prüfung nach individueller Terminvereinbarung (bitte kümmern Sie sich gegen Ende des Semesters darum). Die Zulassung zur Prüfung setzt die Lösung von 50% der Übungsaufgaben voraus.
Unterrichtssprache: Deutsch oder Englisch. Die Unterrichtssprache wird zu Beginn der ersten Vorlesungsstunde in Absprache mit den Teilnehmerinnen und Teilnehmern entschieden.
Arbeitsaufwand: 12 Leistungspunkte
Verwendbarkeit des Moduls: Wahlpflichtmodul in den Master-Studiengängen Mathematik, Mathematische Physik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik