Zur  g - adischen Darstellung:

Für alle natürlichen Zahlen  g  größer als 2 gilt
 

( 1 0 0 )_g+1   =  ( 1 2 1 )_g
 

Wahr        Falsch 

Die Menge der Primzahlen ist abzählbar
 

Wahr        Falsch 

Die natürlichen Zahlen (inklusive der Zahl 0)

bilden bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe
 

Wahr        Falsch 

Jeder Isomorphismus ist injektiv
 

Wahr        Falsch 

Die Vektoren  (0,0,0),  (1,2,3),  (2,3,4)  sind im Vektorraum  IR ³  linear unabhängig
 

Wahr       Falsch 

Keine lineare Abbildung von  IR ³  nach  IR ²  ist injektiv
 

Wahr       Falsch 

Der Kern einer linearen Abbildung  f  ist stets Untervektorraum von Bild  f
 

Wahr       Falsch 

Die Spiegelung an der Geraden  g_1,1  ist keine lineare Abbildung

( Hinweis:  g_1,1 = { (x,x+1) | x reell } )
 

Wahr       Falsch 

Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist stets  0
 

Wahr       Falsch 

Der Rang der Matrix

ist für jede reelle Zahl  a  gleich
 

Wahr:       Falsch: 

Wahr:

( 1 0 0 )_g+1   =   1· ( g + 1 ) ²  +  0 · ( g + 1) ¹  +  0 · ( g + 1) ⁰

                   =   ( g + 1 ) ²

                   =  g ²  +  2 g  +  1 

                   = 1  · g ²  +  2 · g¹  +  1 ·  g ⁰

                   = ( 1 2 1 )_g

Falsch:

Weil der Nullvektor dabei ist, können die Vektoren nicht linear unabhängig sein, dies sieht man auch an folgende Darstellung des Nullvektors:

1 ·  (0,0,0)  +  0 · (1,2,3)  +  0 · (2,3,4)   =  (0,0,0)

Wahr:

Weil die Menge der Primzahlen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist und

weil die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar ist,

ist auch die Menge der Primzahlen abzählbar.  ( auch wenn es unendlich viele gibt )

Wahr:

Genau so ist orthogonal definiert !!
 

Wahr:

Unter Isomorphismus versteht man einen bijektiven Homomorphismus.

Bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv.
 

Also muss jeder Isomorphismus injektiv sein.
 

Wahr:

Geradenspiegelungen an einer Geraden, die nicht durch den Nullpunkt (0,0) geht, lassen diesen nicht fest und sind deshalb nicht linear.
 

Falsch:

Der Kern einer linearen Abbildung enthällt alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Bild f  enthält alle Vektoren, die ein Urbild besitzen.

Der Kern ist zwar ein Untervektorraum, aber nicht von Bild f.
 

Wahr:

Der Rang der Matrix kann höchstens  2  sein, weil es nicht mehr Zeilen gibt.

Die beiden ersten Spalten der Matrix sind (als Vektoren aufgefasst) linear unabhängig.

Damit ist der Rang der Matrix mindestens  2.

Also: Unabhängig von  a  ist der Rang genau  2.
 

Wahr:

Aus Dimensionsgründen kann keine lineare Abbildung von  IR ³  nach  IR ²  injektiv sein:

Ein hoffentlich bekannter Dimensionssatz besagt in Kurzform

Dimension Urbildraum  =  Dimension Kern + Dimension Bild.

In userem Fall ist die Dimension des Urbildraumes 3.

Die Dimension des Bildes kann maximal 2 sein kann (weil das Bild ein Teilraum vom  IR ²  ist).

Damit ist die Dimension des Kerns mindestens 1.

Also hat der Nullvektor verschiedene Urbilder, die Abbildung ist nicht injektiv.

Falsch:

Wo sollen denn die inversen Elemente herkommen?