Kreuze bei a) und c):
Wir überprüfen in a) und b) die Linearität:
a) f ( ( x , y ) + ( u , v ) ) =
f ( ( x+u , y+v ) ) = (x+u) + (y+v) = (x+y) + (u+v) =
f ( (x,y) ) + f ( (u,v) )
f ( α ( x , y) ) = f ( ( α x ,α y) )
= α x + α y = α (x+y) = α f ( (x,y) )
gilt für alle Skalare und Vektoren, also ist f linear.
b) g ( 2 (1,1) ) = g ( (2,2) ) = 2 · 2 = 4 , aber
2 g ( (1,1) ) = 2 · (1 · 1 ) = 2 , daher ist g nicht linear.
c) Es kann aus Dimensionsgründen keine injektive Abbildung geben: In unserem Fall liefert die Dimensionsformel für
lineare Abbildungen
2 = dim Kern + dim Bild
Da die Dimension des Bildes maximal 1 sein kann, ist die Dimension des Kerns auf jeden Fall größer als 0.
Der Kern besteht nicht nur aus dem Nullvektor; die lineare Abbildung kann nicht injektiv sein.
d) Falsch, beispielsweise ist die Abbildung, die jeden Vektor auf 0 abbildet, linear, aber nicht surjektiv. |