a)   Die Potenzmenge des kartesischen Produkts A × B, wobei A und B beliebige Mengen sind

  b)   Jede zweielementige Teilmenge der Potenzmenge einer Menge

  c)   Jede Teilmenge des kartesischen Produkts A × B, wobei A und B beliebige Mengen sind

  d)   Nichts von a) bis c)

Jede Ordnungsrelation ist transitiv
 

  a)   Äquivalenzrelation
  b)   Ordnungsrelation
  c)   Weder a)  noch  b)

  a)   Weniger als 1000
  b)   Zwischen 1000 und 500000
  c)   Zwischen 500001 und 10000000
  d)   Mehr als  10000000

Wenn (a,b) und (a,c) zu einer Äquivalenzrelation gehören, dann auch (b,c).

Auf der Menge der ganzen Zahlen sei   a ~ b : <===>  a + b    ist eine gerade Zahl 
( also R = { ( a,b )   |   a + b gerade } ).

Diese Relation ist

  a)    reflexiv
  b)    symmetrisch
  c)    transitiv
  d)    antisymmetrisch

Diese Relation ist

  a)    reflexiv
  b)    symmetrisch
  c)    transitiv
  d)    antisymmetrisch

Jede Teilmenge des kartesichen Produkts A × B , wobei A und B beliebige Mengen sind, ist eine Relation. 

Dies war Behauptung c). Die Fantasieprodukte a) und b) sollte man in diesem Zusammenhang ganz schnell vergessen.

Eine  grobe Abschätzung liefert uns  2²⁵  =  2⁵ · 2²⁰  > 10 · 2¹⁰ · 2¹⁰  > 10000 · 1000 = 10000000.

d) ist richtig, alle anderen Vorschläge sind viel zu klein.

                     reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv 

kennengelernt und uns (hoffentlich) gemerkt:

                     Ordnungsrelationen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv

Gewissensfrage: Was heißt transitiv? 
 

b): Die Relation ist symmetrisch , dies folgt aus der Kommutativität der Addition:
     a ~ b <===> a + b gerade  <===>   b + a gerade  <===> b ~ a .

c): Die Relation ist transitiv : Sei a ~ b und b ~ c , also a + b und b + c jeweils gerade. Wir untersuchen die beiden verschiedenen Möglichkeiten:
   a gerade: Wegen der Voraussetzung a + b gerade ist dann auch b gerade, zusammen mit b + c gerade folgt nacheinander c gerade und a + c gerade, also a ~ c .
   a ungerade: Wegen der Voraussetzung a + b gerade ist dann auch b ungerade, zusammen mit b + c gerade folgt nacheinander c ungerade und a + c gerade, also auch hier a ~ c .

d): Die Relation ist nicht antisymmetrisch, Gegenbeispiel:   1~3  und  3~1 

Es liegt aber keine Ordnungsrelation vor, sonst dürften nicht gleichzeitig  (a,b)  und  (b,a)  zur Relation gehören.

Damit ist a) richtig und  b)  und  c)  sind falsch.

Zusatzfrage (ohne Punkte, ohne Lösung): 

Wenn (a,b) und (a,c) zu einer Ordnungsrelation gehören, was ist dann mit  (b,c) ?

  b):  Gegenbeispiel: 1 ~ 2, aber nicht 2 ~ 1, damit nicht symmetrisch. 

  c):  Gegenbeispiel: 1 ~ 2, und 2 ~ 4, aber nicht  1 ~ 4, damit nicht transitiv.

  d):  Die Antisymmetrie ist erfüllt, kurzer Beweis: Sei für verschiedene Zahlen  a, b   a ~ b . Dies bedeutet b = 2a. Wäre auch b ~ a , müsste gleichzeitig a = 2b gelten, also b = 2a = 4b, woraus der Widerspruch a = b = 0 folgt.

Wegen der verlangten Reflexivität gehören ( a,a ) und ( b,b ) zu jeder Äquivalenzrelation. Eine haben wir damit auch schon gefunden, nämlich {( a,a ), ( b,b )}. Zu jeder anderen Äquivalenzrelation müssen weitere Elemente hinzukommen. Viel Auswahl haben wir nicht: Fügen wir ( a,b ) hinzu, liegt wegen der Symmetrie auch ( b,a ) in der Relation, und umgekehrt. Die zweite mögliche Äquivalenzrelation ist daher A × A selbst.