Gitter waren schon lange, bevor ein Zusammenhang mit den Codes bemerkt wurde, ein Gegenstand mathematischer Forschung mit mannigfachen Anwendungen, etwa in der Kristallographie. Es gibt dafür verschiedene Definitionen. Für unseren Zweck heißt eine Teilmenge von ein Gitter in genau dann, wenn es eine Basis des gibt mit
d.h. einfach, daß aus allen ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren besteht. Das von den üblichen Einheitsvektoren aufgespannte Gitter heißt das ``Standardgitter''. In dem Beispiel am Anfang des Abschnittes 4 ist
Gitter lassen sich nun noch auf mannigfache Weise spezifizieren und die so spezifizierten Gitter dann klassifizieren. So wird zugeordnet die Matrix , gebildet aus den Skalarprodukten
der Basisvektoren .
Ein Gitter heißt ganz, falls für alle die Skalarprodukte sind, d. h. auch, falls A eine Matrix aus ganzen Zahlen ist.
Ein ganzes Gitter heißt gerade, falls für alle gilt , d. h. falls in A alle Diagonalelemente gerade sind.
Das Standardgitter hat als Matrix die Einheitsmatrix , ist also ganz, aber nicht gerade.
Die Reduktion gibt einen Gruppenhomomorphismus
Falls C ein [n,k,d]-Code ist, also ein Unterraum , gilt . C ist damit eine Untergruppe in vom Index und das Urbild von C in wird auch als Untergruppe vom Index von erkannt. ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang n und deshalb ein Gitter in .
wird als das dem Code zugeordnete Gitter genommen. Als Beispiel: Zum erweiterten Hamming-Code gehört auf diese Weise das Gitter in mit der Basis für und
f(1) = 1/Sqrt(2) (0,1,1,0,1,0,0,1)
f(2) = 1/Sqrt(2) (0,0,1,1,0,1,0,1)
f(3) = 1/Sqrt(2) (0,0,0,1,1,0,1,1)
f(4) = 1/Sqrt(2) (1,0,0,0,1,1,0,1)
f(5) = 1/Sqrt(2) (0,1,0,0,0,1,1,1)
f(6) = 1/Sqrt(2) (1,0,1,0,0,0,1,1)
f(7) = 1/Sqrt(2) (1,1,0,1,0,0,0,1)
e(8) = 1/Sqrt(2) (-1,-1,0,0,1,0,-1,0)
Obwohl das den Rahmen dieses Textes endgültig sprengt, sei noch erwähnt, daß zu diesem Gitter ein (Witt-)Coxeter-Dynkin Diagramm vom Typ gehört, nämlich
e(1) --- e(2) --- e(3) --- e(4) --- e(5) --- e(6) --- e(7)
l
e(8)
Solche Diagramme spielen im Zusammenhang mit den ``Wurzelgittern'' eine zentrale Rolle bei der Frage der Klassifikation einfacher Lie-Algebren und ``klassischer Gruppen''. Umgekehrt kann von Gittern gewissen Typs auf mögliche Codes geschlossen werden und diese werden dann damit klassifiziert. Als Beispiel ([Eb],S. 103) kommt u.a. heraus: Es gibt mehr als 17.000 inäquivalente selbstduale binäre Codes der Länge 40.