Von Codes zu Gittern.

Gitter waren schon lange, bevor ein Zusammenhang mit den Codes bemerkt wurde, ein Gegenstand mathematischer Forschung mit mannigfachen Anwendungen, etwa in der Kristallographie. Es gibt dafür verschiedene Definitionen. Für unseren Zweck heißt eine Teilmenge tex2html_wrap_inline1040 von tex2html_wrap_inline1042 ein Gitter in tex2html_wrap_inline1042 genau dann, wenn es eine Basis tex2html_wrap_inline1046 des tex2html_wrap_inline1042 gibt mit

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d.h. einfach, daß tex2html_wrap_inline1040 aus allen ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren tex2html_wrap_inline1046 besteht. Das von den üblichen Einheitsvektoren tex2html_wrap_inline1056 tex2html_wrap_inline1058 aufgespannte Gitter tex2html_wrap_inline1060 heißt das ``Standardgitter''. In dem Beispiel am Anfang des Abschnittes 4 ist

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Gitter lassen sich nun noch auf mannigfache Weise spezifizieren und die so spezifizierten Gitter dann klassifizieren. So wird tex2html_wrap_inline1040 zugeordnet die Matrix tex2html_wrap_inline1066 , gebildet aus den Skalarprodukten

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der Basisvektoren tex2html_wrap_inline1046 .

Ein Gitter heißt ganz, falls für alle tex2html_wrap_inline1072 die Skalarprodukte tex2html_wrap_inline1074 sind, d. h. auch, falls A eine Matrix aus ganzen Zahlen ist.

Ein ganzes Gitter tex2html_wrap_inline1040 heißt gerade, falls für alle tex2html_wrap_inline1080 gilt tex2html_wrap_inline1082 , d. h. falls in A alle Diagonalelemente gerade sind.

Das Standardgitter tex2html_wrap_inline1086 hat als Matrix tex2html_wrap_inline1088 die Einheitsmatrix tex2html_wrap_inline1090 , ist also ganz, aber nicht gerade.

Die Reduktion tex2html_wrap_inline1092 gibt einen Gruppenhomomorphismus

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Falls C ein [n,k,d]-Code ist, also ein Unterraum tex2html_wrap_inline1100 , gilt tex2html_wrap_inline1102 . C ist damit eine Untergruppe in tex2html_wrap_inline1106 vom Index tex2html_wrap_inline1108 und das Urbild tex2html_wrap_inline1110 von C in tex2html_wrap_inline1114 wird auch als Untergruppe vom Index tex2html_wrap_inline1108 von tex2html_wrap_inline1114 erkannt. tex2html_wrap_inline1110 ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang n und deshalb ein Gitter in tex2html_wrap_inline1042 .

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wird als das dem Code zugeordnete Gitter genommen. Als Beispiel: Zum erweiterten Hamming-Code tex2html_wrap_inline1128 gehört auf diese Weise das Gitter tex2html_wrap_inline1130 in tex2html_wrap_inline1132 mit der Basis tex2html_wrap_inline1134 für tex2html_wrap_inline1136 und

f(1)  =  1/Sqrt(2) (0,1,1,0,1,0,0,1)

f(2)  =  1/Sqrt(2) (0,0,1,1,0,1,0,1)

f(3)  =  1/Sqrt(2) (0,0,0,1,1,0,1,1)

f(4)  =  1/Sqrt(2) (1,0,0,0,1,1,0,1)

f(5)  =  1/Sqrt(2) (0,1,0,0,0,1,1,1)

f(6)  =  1/Sqrt(2) (1,0,1,0,0,0,1,1)

f(7)  =  1/Sqrt(2) (1,1,0,1,0,0,0,1)

e(8)  =  1/Sqrt(2) (-1,-1,0,0,1,0,-1,0)

Obwohl das den Rahmen dieses Textes endgültig sprengt, sei noch erwähnt, daß zu diesem Gitter ein (Witt-)Coxeter-Dynkin Diagramm vom Typ tex2html_wrap_inline1140 gehört, nämlich

e(1) --- e(2) --- e(3) --- e(4) --- e(5) --- e(6) --- e(7)

                       l

                         e(8)

Solche Diagramme spielen im Zusammenhang mit den ``Wurzelgittern'' eine zentrale Rolle bei der Frage der Klassifikation einfacher Lie-Algebren und ``klassischer Gruppen''. Umgekehrt kann von Gittern gewissen Typs auf mögliche Codes geschlossen werden und diese werden dann damit klassifiziert. Als Beispiel ([Eb],S. 103) kommt u.a. heraus: Es gibt mehr als 17.000 inäquivalente selbstduale binäre Codes der Länge 40.